הערות על ההיסטוריה של מושג הזמן מאריסטו ועד אוגוסטין לואי קושי (Cauchy)

אייל דוננפלד
לאורך הדורות השאלה שחזרה ועלתה במטפיזיקה ובמדע היא השאלה אם הזמן קיים

 

תקציר

מאז שזנון הציג את הפרדוקסים שלו באשר לאי אפשרות התנועה היו ניסיונות שונים לתת פתרון לפרדוקסים אלה שלוו גם בתפיסות שונות של זמן ושנוי. מאמר זה יתאר את הדיאלקטיקה של ויכוח זה באשר לפרדוקס החץ. אראה שעד כמה שהזמן נתפס כמידה או תכונה של השנוי הרי שפרדוקס החץ  אכן פרדוקס בלתי פתור. אראה תחילה כיצד אריסטו פתר את הפרדוקס רק ע"י שנוי של תפיסת הזמן. לאחר מכן אראה כיצד ניוטון נקלע לחוסר קוהרנטיות בכך שמצד אחד קיבל את התפיסה הנ"ל ומצד שני ניסה להגדיר שנוי בנקודת זמן. כמו כן עד כמה שתנועה בזמן מוגדרת בעקבות יישום הקלקולוס המודרני בפיזיקה כערך הנגזרת בנקודה בזמן הרי שאין מקום למושג השנוי במסגרת תפיסה זו. מכאן אסיק שהשאלה באשר לטיבו של זמן ואף למציאותו נותרת בעינה גם בתפיסה המודרנית.

 

 

לאורך הדורות השאלה שחזרה ועלתה במטפיזיקה ובמדע היא השאלה האם הזמן קיים. השאלה נראית מוזרה אך ניתן לנסח אותה באופן שישמע פחות מוזר. בתמונת העולם האובייקטיבית אין טעמים ואין צבעים. צבעים וטעמים הם תכונות שמופיעות ליצורים בעלי חושים כמונו. האם גם הזמן הינו תכונה של העולם הקיימת רק מפרספקטיבה של יצורים כמונו? האם התיאור האובייקטיבי של העולם, כביכול התיאור שאינו משום נקודת מבט, מכיל גם הוא זמן ושנוי?

 

ישנם כמה שאלות קשות לגבי הזמן- האם לזמן יש כוון? האם הוא סופי או אינסופי? לא אתייחס שאלות אלה. מה שיעניין אותי במאמר זה הוא קיום הזמן.

 

 אריסטו טוען לגבי הזמן:

 

"התנועה היא רצופה ,אפוא, באותו אופן שבו רצוף גם הזמן, כי הזמן הוא דבר אחד עם התנועה או מקרה הנמשך אחרי התנועה."[1]

 

מכאן בעקבות אריסטו אתייחס לשאלה באשר לקיום הזמן כזהה לשאלה האם קיים שנוי. אין מובן לזמן ללא שנוי ואין שנוי ללא זמן. אמנם זו עמדה מטאפיזית באשר לזמן אך היא תואמת את השכל הישר, כלומר את מה שאנו תופסים באופן אינטואיטיבי כמושג הזמן. אתאר את הויכוח בין זנון ואריסטו לגבי קיום השנוי. אחרי זה אעבור להתמודדות ההרואית אך בלתי מוצלחת של ניוטון בשאלה זו ואסיים בתהייה כיצד השאלה עומדת במדע של זמנינו. לפני שאתחיל את הסקירה אתאר את האופן בו אריסטו מנתח את מושג השנוי.

 

"מה שהולך ונוצר, באשר הוא הולך ונוצר, הולך ממשהו למשהו"[2]

 

בקצרה, שינוי הינו שינוי של עצם הנשאר זהה במהלך זמן השינוי אך עובר מלהיות בעל אוסף תכונות אחד לאוסף תכונות אחר כשאוספים אלה שונים. הניתוח הנ"ל מתחייב לקיום עצמים ומקרים שלהם. לדוגמא- סוקרטס, שהוא עצם, שבמקרה אינו חיוור אחרי זמן כלשהו נהיה חיוור.[3]זה אותו הדבר, סוקרטס, הנשאר זהה במשך השנוי אך מקבל תכונות שונות.

 

 

פרדוקס החץ של זנון

 

המקור לנוסח הפרדוקס של זנון מצוי בכתבי אריסטו:

 

"הטיעון של זנון, אם זאת, אינו תקף, כשהוא טוען שכל דבר כאשר הוא תופס את החלל בדיוק בגודלו כאשר הוא במנוחה, החץ הנע לפיכך במנוחה. זה שקרי; כיוון שהזמן אינו בנוי מעכשווים[4] בלי ניתנים לחלוקה כשם שכל גודל אינו בנוי מבלי ניתנים לחלוקה."[5]

 

לאחר מכן הוא אומר:

 

"[פרדוקס החץ של זנון] כבר נתון לעיל, בכך שהחץ במעופו הוא במנוחה, טענה הנובעת מההנחה שהזמן מורכב מעכשווים: אם הנחה זו נדחית, לא תנבע המסקנה."[6]

 

ניתן להציג את הפרדוקס של זנון כך:[7]

 

1.כל דבר שתופס חלל בדיוק בגודלו נמצא במנוחה.

2. החץ הנע, כאשר הוא נע, נע גם בהווה.

3. אך בהווה החץ תופס חלל בדיוק בגודלו.

4. לפיכך בהווה החץ במנוחה.

5. לפיכך החץ שנע, כאשר הוא נע, הוא במנוחה.

 

בקצרה, אם החץ נע הוא נע גם עכשיו או בהווה, אך בהווה הוא לא נע (כיוון שבנקודת הזמן של ההווה הוא בדיוק תופס את גודלו בחלל) ולפיכך זו סתירה לטעון שהוא נע מלכתחילה. זנון מראה שמושג השנוי אינו קוהרנטי, כלומר שהוא לא קיים מנקודת מבט של יצור החושב על פי התבונה בלבד. המטרה היא להראות שמושג הריבוי אינו קוהרנטי ולפיכך שהריבוי הוא אשליה שמקורה בשפה שמטילה הבחנות על המציאות שהיא אחדות אחת בלתי משתנה. בעקבות מורו פרמנידס האמת היחידה היא שהיש ישנו והאין איננו.[8]

 

יש לשים לב שהכוח של הפרדוקס נובע מכך שמדובר על התנועה של החץ עכשיו. אם זנון היה טוען שהחץ אינו יכול לנוע בנקודה כלשהי בזמן ייתכן שהיינו יכולים לטעון שאיננו מבינים מהי נקודה כלשהי בזמן, שאין בכלל נקודות בזמן. ההוראה להווה נותנת לנו את המובן של נקודה בזמן כמו גם את קיומה.

 

 

הפתרון של אריסטו

 

יש להדגיש שעל מנת לפתור פרדוקס יש להראות איזו הנחה אינך מקבל על מנת לדחות את המסקנה. זה אינו מה שאריסטו עושה. במקום זאת הוא דוחה תפיסה מסוימת של זמן שהוא חושב שעומדת בבסיס הפרדוקס.

אריסטו טוען כנגד זנון:

 

1. הזמן אינו מורכב מעכשווים או הווים שהם חסרי מימד. ההווה אינו אלא חלוקה חסרת מימדים בין עבר ועתיד.

 

אוסף של הווים אינו אלא נקודות חסרות מימד בזמן שכל אחד מהם או שישנו או שהיה או שיהיה הווה. לפי אריסטו לא ניתן מצירוף של נקודות חסרות מימד לקבל גודל כלשהו.לפיכך אף אם החץ אינו נע בכל הווה אין זה אומר שהוא לא נע במשך קטע בזמן כיוון שקטע בזמן אינו מורכב מהווים.  אם שוללים את התפיסה שהזמן מורכב מהווים אין פרדוקס.

אריסטו אף טוען שלא ניתן לומר שהחץ במנוחה:

 

"כמו כן דבר אינו יכול להיות במנוחה; כיוון שאנו טוענים זאת, שרק מה שמטבעו יכול להיות במנוחה הוא כזה שמטבעו יכול להיות נע אך אינו נע מתי, איפה, או כפי שבאופן טבעי יהיה כך; לעומת זאת, כיוון שאף דבר הוא בעל טבע כזה שיהיה בתנועה בהווה, ברור שדבר אינו יכול גם אף להיות במנוחה.

 

כמו כן, עד כמה שזהו אותו הווה ששייך לאותם זמנים, ואפשרי לדבר להיות בתנועה למשך זמן אחד ולהיות במנוחה במשך הזמן האחר, וזה שהוא בתנועה או במנוחה במשך כל הזמן יהיה בתנועה או במנוחה בכל חלק מזמן זה שהוא בעל טבע כזה כך שהוא במנוחה או בתנועה: ינבע שאותו דבר יכול להיות באותו זמן במנוחה ובתנועה; כיוון שלאותם זמנים יש אותה קיצוניות- ההווה.

 

שוב, אנו טוענים שדבר הוא במנוחה אם מצבו בכללותו ובחלקו אחיד בהווה או לפניו; אך ההווה אינו מכיל לפני; מכאן, לא ייתכן שתהיה בו מנוחה. נובע שהתנועה של מה שבתנועה והמנוחה של מה שבמנוחה חייב לכלול זמן."[9]

 

הטענה היא שרק מה שמטבעו יכול להיות בתנועה יכול להיות במנוחה ולפיכך כיוון שהחץ לא יכול להיות בתנועה הוא לא יכול להיות במנוחה. אריסטו מוסיף שבאשר ההווה הוא הגבול בין העבר להווה והגבול בין העתיד להווה אזי באשר ייתכן שקטע אחד הדבר במנוחה וקטע שני הדבר בתנועה אזי הוא צריך להיות הן במנוחה והן בתנועה בהווה. מכך נובע שתנועה ומנוחה מוגדרים רק לקטע של זמן.

 

כעת ניתן לתאר את העמדה של אריסטו באשר לאופי הזמן:[10]

 

2. שנוי או תנועה מוגדר ביחס למשך זמן. משך זמן ניתן לחלוקה אינסופית.

 

לפי אריסטו נקודה בזמן כמו ההווה אינה אלא אפשרות לחלוקה של קטע של זמן. נקודה אינה מרכיב של הזמן. קטע של זמן ניתן לחלוקה אינסופית במובן זה שתמיד ניתן להוסיף לחלקו. אילו היה ניתן לחלק את הזמן לחלקים חסרי מימדים פרוש הדבר שניתן היה להרכיב את הזמן מאוסף של נקודות חסרות מימדים, מה שנראה לאריסטו בלתי אפשרי. מכאן תמיד ניתן להמשיך ולחלק קטע לחלקים אך תמיד הוא יהיה מורכב מחלקים ולא מנקודות החלוקה שהן חסרות מימד.

 

מכאן כי כל שנוי מוגדר על קטע בזמן קטן כרצוננו. ניתן להצביע על נקודה בזמן כחלוקה בין שני קטעי זמן, לפני ואחרי, אך לא ניתן לתת מובן לתנועה או שנוי בנקודה זו. כיוון שקטע בזמן אינו מורכב מנקודות חסרות מימד אין בעיה ליישב זאת עם הטענה שאם יש שנוי בקטע של זמן אזי יש שנוי בכל חלק או מרכיב של הקטע.

 

יש לשים לב שאריסטו מגדיר את המושג אינסוף, כאינסוף פוטנציאלי, ככזה שתמיד יש עוד איברים מחוצה לו. מכאן אין לחשוב על נקודה כמה שמתקבל כעבור חלוקה אינסופית של קטע (כי אין מובן לחלוקה אינסופית של קטע) כי אם נקודה היא האפשרות האינסופית לחלוקה. נקודה אינה כביכול סוף תהליך החלוקה כי אם העדר הסוף של החלוקה.

 

נסכם:

לפי אריסטו תנועה היא שנוי של עצם בזמן, כלומר קבלת תכונות חלליות שונות של העצם בזמן. שנוי זה תמיד מוגדר בקטע של זמן ואין משמעות לשנוי או חוסר שנוי בנקודה בזמן.

 

ניוטון וגדלים אינפינטיסימלים[11]

 

לא ניתן לעבור לדיון של ניוטון על התנועה מבלי לאמר משפט על המעבר מהפיזיקה האריסטוטלית לפיזיקה הניוטונינית.

אריסטו לא היה צריך את המושג של תנועה ברגע כיוון שהתיאור המדעי של העולם על פי תפיסתו היה איכותי ולא כמותי. תנועה היא שנוי איכותי שדבר עובר כאשר הוא משתנה אל מצבו הטוב יותר, כאשר הוא יוצא מן הכוח לפועל. שנוי שכזה לוקח זמן לפיכך אין צורך במובן של שנוי בנקודת זמן. כמו כן מושג הסיבה הינו מה שמסביר את תהליך השנוי לאורך זמן.

 

המהפכה של גלילאו וניוטון הייתה בעיקרה מעבר מתיאור איכותי של הטבע לתיאור כמותי, כלומר מתמטי. לפיכך תנועה של גוף אינו איזה שנוי איכותי שלו כי אם שנוי שלו בחלל אשר צריך להיות ניתן לתיאור בצורה כמותית, כלומר מתמטית. המהירות של הגוף ברגע חייבת להיות מוגדרת כיוון שתנועה מוגדרת באופן מתמטי כמרחק בתלות בזמן. ניתן אף לומר שלהבדיל מאריסטו קשר סיבתי הינו קשר בין מאורעות בלתי תלויים לוגית שכל אחד מתקיים בנקודת זמן.

 

עם זאת אטען שניוטון היה שבוי עדיין בתפיסת השנוי של אריסטו. המהירות על פי ניוטון אינה סתם פונקציה כי אם שנוי המיקום של נקודה ביחס לשנוי בזמן, הנקודה כביכול מקבלת ערכים שונים המבטאים את מיקומה במרחב. תפיסה זו ניכרת בכל ניסיונותיו של ניוטון לתת מובן ברור לנגזרת פונקצית המרחק כפונקציה של זמן, בנקודה, שזו אינה אלא המהירות של חלקיק בנקודה. על מנת לעשות זאת הציג ניוטון את מושג האינפינטיסימל. ניוטון התייחס למהירות כהשתנות רגעית. כניסיון ראשון תיאר ניוטון את ההשתנות הרגעית כהשתנות הנקודה בגודל אינפינטיסימלי במרחב ביחס להשתנות קטע זמן בגודל אינפינטיסימלי. הנקודה היא שאין זה שהמשתנה מקבל ערכים שונים אלא שמדובר בנקודה המשנה מיקום במרחב.[12]

 

זאת ניתן לראות מהניסיון השני שמופיע בספרו מתודוס פלוקסיונים ובו הוא מודיע שהמשתנים שלו מתהווים ע"י תנועה רציפה של נקודות, קווים ומישורים בזמן. בחיבורו השלישי הנוגע לקלקולוס דה קוודרטורה קורברום, ניוטון טוען שהוא נוטש לחלוטין את האינפינטיסימל ומציג עמדה על פיה קווים נוצרים ע"י נקודה בתנועה, מישורים ע"י קווים בתנועה וגופים ע"י מישורים בתנועה.  בכל הניסיון הנ"ל יש להבחין בכך שניוטון מדבר על שנוי רגעי של נקודה באותו אופן שבו אריסטו דן בשנוי רגעי של עצם.

 

הבעיה מבחינה פילוסופית שאותה ביקר בחריפות הפילוסוף הכומר ברקלי במאמר שהתפרסם ב-  The Analyst ב 1734 הייתה שלניוטון הייתה אמת מידה כפולה לגבי האינפינטיסימל- הוא התייחס אל האינפינסטיסימל כאפס כאשר הוא הופיע במונה וכגודל סופי שניתן לחלק בו כאשר הוא הופיע במכנה. [13] את הפוריות של הקלקולוס תיאר ברקלי כאיזון של טעויות:

 

“..by virtue of a twofold mistake you arrive, though not at science, yet at the truth”.

 

ניתן להסביר את הטעות של ניוטון כעולה מתוך התפיסה שלו של מהירות רגעית כשנוי רגעי. מצד אחד שנוי רגעי באשר הוא שנוי חייב להיות שנוי בקטע של זמן. מצד שני זה שהשנוי רגעי מחייב שאורך הקטע בזמן יהיה אפס. הסתירה נובעת מאותם שיקולים שנתן אריסטו-  אין מובן לשנוי רגעי.

 

 

האנליזה המודרנית של מושג הנגזרת והאפליקציה של מושג זה למדעי הטבע.

 

מבחינה מתמטית הטענה כנגד ניוטון הייתה שהוא ערבב בין דיון על תנועה וזמן לבין דיון על נגזרת של פונקציה. הנגזרת של פונקציה היא עניין מתמטי שלא תלוי בהגדרתו במונחים של תנועה וזמן. אראה שהבעייתיות שעולה מההגדרה המתמטית  היא שהאפליקציה שלה למדעי הטבע יכולה להיראות בעייתית הן לאריסטו והן לניוטון כיוון שאין בה כל התייחסות לשנוי ולפיכך לא ברור איזה מושג של זמן נובע ממנה, אם בכלל.

 

מי שהצליח לנסח את מושג הנגזרת באופן קוהרנטי היה קושי (Cauchy) בספרו Course d’analyse  שיצא לאור ב1821, וזאת עשה ע"י הגדרה של מושג הגבול:

 

" כאשר הערכים המיוחסים בזה אחר זה לאותו משתנה מתקרבים עד בלי סוף לערך קבוע, באופן כזה שהם יבדלו ממנו, בסופו של דבר, בכמות קטנה עד כמה שנרצה, אזי הערך הקבוע הזה נקרא הגבול של הערכים האחרים."[14]

 

ניתן לחשוב שהטענה ש'הערכים המיוחסים בזה אחר זה לאותו משתנה' זהה בדקדוק שלה לטענה שהעצם מקבל תכונות שונות. כביכול אותו משתנה מקבל ערכים שונים כשם שאותו עצם מקבל תכונות שונות. הנקודה המרכזית היא שאין זה כך. לומר שערך המשתנה הוא 4 הינו לטעון פסוק זהות (ובאשר היא טענת זהות אפשר לראות שהיא זהה במובן לטענה הסימטרית לכך ש-4 הוא ערך המשתנה). לעומת זאת לטעון שהנקודה היא במקום אחד הינו ליחס תכונה לנקודה ( כלומר המשפט פרדיקטיבי, מה שניתן לראות בכך שהטענה אינה שקולה לטענה הסימטרית שמקום אחד הוא הנקודה). בכך טמון כל ההבדל.

 

מכאן הגדיר פונקציה הרציפה בנקודה כפונקציה שבה מתקיים התנאי הבא: אם גבול סדרת ההפרשים בין המשתנה הבלתי תלוי לנקודה הוא אפס אזי גבול ההפרשים בין ערכי המשתנה הבלתי תלוי (הפונקציה) וערך הפונקציה בנקודה הוא אפס.

 

ואת הנגזרת הגדיר  כך:

 

f '(x) = Lim x*à0 {f(x+x*) - f(x)} / x*

 

 

המושג של שנוי כלל לא מוזכר בהגדרה של הנגזרת. הנגזרת, בתחומים בפונקציה בה היא מוגדרת, היא פונקציה שמתאימה נקודה לערך של הנגזרת בנקודה.

 

כאשר נותנים פירוש למהירות כפונקציה המתארת את הפרש ערכי פונקציה בציר המרחק חלקי הפרש ערכי המשתנה המתאר את הזמן לא ניתן לומר שאני מתאר את שנוי המרחק ביחס לשנוי הזמן. הזמן אינו אלא ציר שאינו שונה במהותו מכל ציר אחר. בפיזיקה הניוטונית בעקבות פירוש זה מיקום של גוף בחלל ניתן כפונקציה של הזמן, כלומר כהתאמה מנקודות בזמן לשלשה מסודרת המייצגת את מיקום הגוף. זה מנוגד לנסיונו של ניוטון לתאר את הגוף כאותו גוף המשנה את מיקומו בזמן.. ניוטון לפיכך מנסה לתאר שינוי תכונות של אותו האיבר תוך שימוש במונחים הלא מתאימים של גבולות מתמטיים המיוחסים לסדרות של איברים רבים ושונים.

 

תורת היחסות  מראה לנו שהזמן והגודל במרחב של גוף תלויים במערכת ייחוס אך עדיין ביחס למערכת ייחוס מסויימת המיקום של גוף בחלל נתון כפונקציה של נקודות בזמן. ניתן לומר שלפי התפיסה המודרנית כל גוף מיוצג בארבע מימדים של העולם. מצבים של הגוף בזמנים שונים אינם אלא חתכים תלת ממדיים של הגוף.

 כשם שהפילוסוף והלוגיקן ברטרנד ראסל (1872-1970) טען:

 

"אנחנו חיים בעולם בלתי משתנה. החץ בכל נקודה במעופו הוא במנוחה. הטעות היחידה של זנון  הינה שהוא הסיק (אם אכן כך הסיק) מכך שאין שנוי שהעולם חייב להיות באותו מצב בזמן אחד כמו בזמן אחר."[15]

 

כמובן שלזמן יש תפקיד מיוחד בפיזיקה. מה שנותר כשאלה הינו המובן שיש לזמן אם אין הוא תכונה או מידה של השנוי.[16]

 

סיכום

 

הראיתי כיצד תפיסת התנועה כשנוי עצם בזמן מביאה לחוסר מובן באשר לשנוי ברגע, דבר המביא את אריסטו לתפוס שנוי כשנוי המוגדר רק ביחס למשך זמן ולתפוס את הזמן כניתן לחלוקה ללא סוף. הראיתי גם שניוטון היה שבוי בתפיסה זו בכך שהוא תפס תנועה כשנוי בזמן של מעבר נקודה בחלל. מכאן כאשר ניסה להגדיר את הנגזרת של הפונקציה המתארת את המרחק ביחס לנקודה הוא הציג את הנגזרת כשינוי אינפינטיסימלי של המרחק ביחס לשנוי אינפינסימלי בזמן. בכך הוא הגיע לאותו פרדוקס שהציג זנון, כיוון שלא ניתן לתאר שנוי בנקודה.

 

 ניתן לראות שהתיקון שעשה קושי להגדרת הנגזרת היה גם הניתוק בין הקלקולוס לבין הפיזיקה. טענתי שניתוק זה הביא לידי תפיסת הנגזרת כמוגדרת באופן שמושג השנוי אינו כלול בה. מכאן האפליקציה של הקלקולוס לפיזיקה מאפיינת את התנועה לא כשנוי כי אם התאמה בין נקודת בזמן ומיקום של גופים פיזיקאליים במרחב. אם אנו תופסים את הזמן כתכונה או מידה של שנוי, יוצא מכך שבתפיסה המודרנית אין זמן כיוון שאין שנוי.

 

המסקנה שניתן להסיק ממאמר זה היא שהפיזיקה המודרנית מראה לנו אחת מהשתיים: או שהזמן כתכונה או מידה של השנוי הוא אכן נתפס אך ורק מהפרספקטיבה שלנו ואין הזמן תכונה אובייקטיבית של העולם או שהיישום של הקלקולוס בפיזיקה המודרנית אינו עושה צדק עם מציאות הזמן.

 

ביבליוגרפיה:

 

1 .  The Basic works of Aristotle, ed. Richard Mckeon, Random House 1941

2.  ,Jonathan Lear,Cambridge University Press 1988   Aristotle: The Desire to Understand

3.  מבוא לתולדות המתמטיקה,  שבתאי אונגורו, האוניברסיטה המשודרת 1989

4. Zeno’s Paradoxes. W. C. Salmon (ed). Bobbs-Merrill, New York, (1970) The Problem of Infinity Considered Historically, Russel B. in

5.    Is Time a Continuum of Instants? Michael Dummet, Philosophy, Vol. 75, No. 294 (Oct., 2000), pp. 497-515

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 



[1]  אריסטו, מטאפיזיקה ספר יא, פרק ו, כל התרגומים שלי מאנגלית   The Basic works of Aristotle, ed. Richard Mckeon, Random House 1941

[2] אריסטו, פיזיקה ספר 2, פרק א.

[3] ההבחנה הלוגית של אריסטו בין עצם ומקרה או נושא ונשוא היא בעצם לב הויכוח בין אריסטו לזנון. עבור זנון, כמו עבור מורו, פרמנידס ישנה רק קטגוריה לוגית אחת (סוקרטס ולובן הווים באותו מובן). אריסטו מתאר את הנושא והנשוא כהווים אך כהווים במובן שונה. לא אתייחס לנקודה מרכזית זו. דיון  בלוגיקה ובמטאפיזיקה של הבחנה זו מצריך מאמר משל עצמו.

[4]  הכוונה לזמן עכשיו ברבים.

[5]  אריסטו, פיזיקה ספר 6, פרק ט.

[6] אריסטו, פיסיקה ספר 2, פרק א.

[7] ההצגה היא של ג'ונטן ליר.,Jonathan Lear,Cambridge University Press 1988  Aristotle: The Desire to Understand

[8] פרמנידס לא טען טענה כזו, אך זו דרך טובה לסכם את דעתו שכל הבחנה שאנו מייחסים ליש היא לא תבונית. ניתוח הטיעון של פרמנידס לעמדה זו הוא מעבר ל

[9]  אריסטו, פיזיקה ספר 7, פרק 3

[10] אריסטו, פיזיקה ספר 3, פרק 6

[11] מראי המקום בסעיף זה מצוטטים מתוך מבוא לתולדות המתמטיקה,  שבתאי אונגורו, האוניברסיטה המשודרת 1989, פרק ז,ח

[12]  כל הניסיונות האלה מופיעים במאמרים שכתב ניוטון:

De Analysi Per Aquationes Numero Terminorum Infinitas שהושלם ב1669 אך פורסם רק ב1711 עד לפרניקיפיה מתמטיקה שיצא לאור בדפוס ב.1687

[13]  נסמן o להיות האינפינטיסימל. אם נסתכל לדוגמה על הפונקציה

f(x)=x2   

הנגזרת תהיה/o=(x2+2x*o+o2-x2 )/0 x2-(x+o)2

כעת נתייחס לאינפינטיסימל מעל למכנה כאל 0 ונקבל

2x*0/0

כעת נתייחס לאינפינטיסימל כאל גודל חיובי ונצמצם ונקבל שהנגזר היא 2x

 

[14] מבוא לתולדות המתמטיקה,  שבתאי אונגורו, האוניברסיטה המשודרת 1989, פרק ח'

 [15] Zeno’s Paradoxes. W. C. Salmon (ed). Bobbs-Merrill, New York, (1970) The Problem of Infinity Considered Historically,  Russel B. in

[16] לא נגעתי כלל בדיון האפיסטמולוגי באשר לאפשרות שלנו להבחין בנקודה שהיא התכנסות של סדרה אינסופית. הויכוח בין ריאליזם וקונסטרוקטיביזם באשר לזמן, שמגיע למסקנות דומות לאלו המוצגות במאמר זה, מוצג ע"י מייקל דאמט-  Is Time a Continuum of Instants? Michael Dummet, Philosophy, Vol. 75, No. 294 (Oct., 2000), pp. 497-515.


הזמן: בין מדע לאמנות, אפריל 2009