זמן כקואורדינטה בתורת היחסות הפרטית

בעז תמיר

בתורת היחסות הפרטית הזמן הינו גודל המהווה קואורדינטה. הזמן והמרחב מהווים יחדיו מערכת קואורדינטות ארבע מימדית. אלו הם הגדלים היחסותיים הבסיסיים ביותר. מהירות האור או  אינטרוול  המאורעות הינם דוגמא לגודל אבסולוטי. מטרת המאמר הינה לנסות להבהיר את משמעות הטענה  כי זמן הוא קואורדינטה בלבד ולא גודל אבסולוטי.  תוצאות תורת היחסות הפרטית מוצגות כתוצאה של נסיון לשמירת סימטריה.

1. יחסות פרטית כתורה של סימטריה

 

ניוטון ייחס לזמן ולמרחב יישויות אונטולוגיות מוצקות. הוא אף קשר בין המרחב והזמן לאלוהות1

 

He [God] endures forever, and he is everywhere present; and by existing always and everywhere, he constitutes duration and space.                                                   

 

זמן ומרחב הינם אבסולוטים במובן זה שהם קיימים כקואורדינטות של היקום, בלתי ניתנות לשינוי, הכרחיות להבנה שלנו של היקום, הכרחיות לקיומו של היקום. זהו הרקע או הכלי בו מונח היקום כולו.

 

אינטואיטיבית אנו תופסים את הזמן במונחים ניוטוניאנים, ואף שעברו למעלה משלוש מאות שנה מאז שהועלו על הכתב. ביסוד תורת היחסות הפרטית והכללית תפיסה שונה של הזמן. הזמן מהווה קואורדינטה של המרחב בתוך מערכת קואורדינטות ארבע מימדית.  מטרת מאמר זה הינה להבהיר את מושג הזמן כקואורדינטה. 

 

נתבונן לדוגמא במערכת צירים במרחב דו מימדי (ציור 1). הצירים X ו Y מאונכים זה לזה.  נניח כי הוקטור V מסמן גודל פיזיקאלי כלשהו כמו מהירות או כוח וכד'.  הקואורדינטות של V הם רכיבי הוקטור המוטלים על ידי שני האנכים על גבי שני הצירים. זוג הקואורדינטות, x ו- y הם לא יותר מאשר סימון או שם שאנו נותנים לוקטור V.  הוקטור עצמו מייצג יישות פיזיקאלית ממשית , בעוד שזוג הקואורדינטות הוא לא יותר מאשר זוג מספרים המייצגים את אותו הוקטור.  זוג המספרים תלויים במערכת הצירים שבחרנו לתאר בה את הוקטור.  לו בחרנו מערכת צירים אחרת  היה אותו הוקטור מיוצג כנראה על ידי זוג מספרים אחרים.  זוג המספרים אם כן משתנה בין מערכת למערכת, והוא מהוה רישום מתמטי בלבד, ואילו הוקטור, המייצג יישות פיזיקאלית 'חי' בעולם פיזיקאלי אמיתי. בציור 1 בחרנו בזוג נוסף של מערכת צירים X' ו Y' , כעת הקואורדינטות השתנו והפכו ל- x' ו – y' .

 

 

 

ציור 1

 

ציור 1 מגלה תכונה נוספת חשובה. גודלו כלומר אורכו של הוקטור V לא השתנה עם המעבר למערכת קואורדינטות חדשה. בכל מערכת  האורך של הוקטור ניתן לרישום על ידי פונקציה של שתי הקואורדינטות באותה מערכת, זאת עושים באמצעות חוק פיתגורס.  אנו רואים כי ישנם שני ביטויים לאורכו של הוקטור, לכל מערכת ביטוי משלה. העובדה כי האורך נשאר אותו אורך פירושה כי שני הביטויים שווים זה לזה. ובפרט:

 

X2+y2=x'2+y'2

 

בתורת היחסות הפרטית הזמן והמרחק הן קואורדינטות בלבד וגדלים כמו מהירות האור או אינטרוול המאורעות הינם גדלים אבסולוטיים כלומר לא משתנים במעבר בין מערכת קואורדינטות אחת לשניה. בתורת היחסות אנו קוראים לקואורדינטות גדלים יחסותיים

 

תורת היחסות הפרטית היא אם כן תורה של סימטריה. כל תורה של סימטריה מתייחסת לטרנספורמציה מסויימת או קבוצה של טרנספורמציות ולגדלים שאינם משתנים תחת אותן הטרנספורמציות. לדוגמא מעגל איננו משתנה תחת פעולה של סיבוב בזוית כלשהי. אנו אומרים כי המעגל הוא אינווריאנטי תחת כל הטרנספורמציות של סיבוב. טרנספורמציות יכולות להיות במרחב או בזמן או במרחב ובזמן ביחד.  דף משבצות הוא אינווריאנטי תחת הוזזה של יחידה אחת של אורך2 ימינה או שמאלה, למטה או למעלה או באלכסון.

 

אנו מצפים בד"כ מהפיזיקה שתהיה אינווריאנטית תחת הוזזה בזמן או במרחב או תחת סיבוב בזוית כלשהי. אם למשל נערוך ניסוי היום במעבדה ונרשום את תוצאותיו, אחר כך נערוך את אותו הניסוי בדיוק גם במועד מאוחר יותר, אנו מצפים כי התוצאות לא ישתנו רק בגלל הבדל הזמנים, במילים אחרות אנו מצפים שתוצאות הניסוי תהינה אינווריאנטיות להוזזה בזמן. בדומה, לו ערכנו את הניסוי בחדר כאן, ואח"כ בחדר סמוך לו. ובדומה, לו סובבנו את המעבדה סביב ציר מרכזי ב 30 מעלות ימינה. בכל המקרים אנו מצפים כי תוצאות הניסויים לא ישתנו כתוצאה מהפעלת הטרנספורמציה.3

 

כעת נשאל שאלה דומה לגבי תורת היחסות הפרטית. בתורת היחסות הפרטית מביטים בטרנספורמצית לורנץ. זו הטרנספורמציה הלוקחת את המערכת ועליה הניסוי ומריצה אותה במהירות קבועה ובכיוון קבוע. לתנועה כזאת אנו קוראים תנועה אינרציאלית. לדוגמא ניתן לחשוב על ניסוי המתרחש על גבי רכבת הדוהרת במהירות קבועה ובאותו הכיוון כאשר אנו עומדים ומתבוננים בה מן הרציף. כעת השאלה היא אלו גדלים ישארו קבועים תחת טרנספורמציה כזאת ואלו ישתנו. הגדלים הקבועים (האינווריאנטיים) יקראו הגדלים האבסולוטים של תורת היחסות והגדלים המשתנים יקראו הגדלים היחסותיים. במובן זה תורת היחסות היא תורה של סימטריה. היא מבדילה בין גדלים הקבועים תחת טרנספורמצית הסימטריה לבין הגדלים המשתנים.4

 

2. הזמן כקואורדינטה בתורת היחסות הפרטית

 

אחת התוצאות המדהימות של תורת היחסות הפרטית אומרת כי הזמן הוא גודל יחסותי.  נתבונן בציור הבא הממחיש את יחסותיות הזמן.  רכבת יוצאת מת"א לחיפה במהירות גבוהה מאוד.5 בקרון הרכבת יושב צופה המחזיק בשעון יד. הוא מודד את הזמן מן הארוע בו פגשה הרכבת את רציף ת"א, נניח בנקודת הזמן בה ראש הקטר חלף על פני שלט הכניסה לרציף ת"א ועד לאירוע בו ראש הקטר חלף על פני שלט הכניסה לרציף חיפה.  השעון שעל ידו הראה הפרש זמן אותו הוא רשם. במקביל אני נמצא על הרציף בת"א ורושם את הזמן בו חלפה הרכבת על פני. חברי הנמצא בחיפה ומחזיק בשעון המסונכרן יחד עם השעון שלי רושם את הזמן בו חלפה הרכבת על פניו ברציף בחיפה. הוא מצלצל אלי ומוסר לי זמן זה. על פי תורת היחסות הפרטית הפרש הזמנים כפי שנמדד בין שני הרציפים גדול מהפרש הזמנים כפי שנמדד ברכבת. הזמן שעבר ברכבת הדוהרת קצר יותר מזמן הרציף.  זמן לפיכך מתקתק יותר לאט על פני הרכבת הדוהרת.

 

ציור 2

 

 

בדומה, האורך מתקצר. נניח כי אני מחזיק בידי סרגל, וסרגל דומה מוחזק בידי הצופה ברכבת. כעת אני עומד ברציף בחדרה וכאשר הרכבת עוברת על פני אני מנסה באמצעות הסרגל שבידי למדוד את אורך הסרגל שבידי הנוסע שברכבת. תורת היחסות הפרטית אומרת כי הסרגל שבידי הנוסע התקצר כפי שזה נראה לי מתוך הרציף. כל זאת בתנאי שהסרגל שבידי הנוסע הוא בכיוון התנועה. במהירות גבוהה מאוד, כ- 0.9 ממהירות האור אורך הסרגל שבידי הנוסע יהיה כמחצית מאורך הסרגל שבידי. 

 

מה קורה אם כן על אותה רכבת. האם הנוסע ברכבת מבחין שהגדלים שלו מתקצרים, שהזמן שלו מתקתק יותר לאט ושהסרגלים בכיוון התנועה התקצרו?  כמובן שלא, ומכמה סיבות. ראשית, הרכבת מאז ומעולם היתה בתנועה בקו ישר ובמהירות קבועה, לא אירע שום שינוי, זוהי הרי ההנחה בתורת היחסות הפרטית ועל כן הנוסע ברכבת מדד מאז ומעולם את אותם גדלים. אין הנוסע ברכבת יודע שהאורך שלו איננו האורך 'האמיתי' של הדברים. ממילא לא קיים אורך אמיתי לסרגלים. מבחינת הנוסע שעל הרכבת זהו אורכו של הסרגל מאז ומעולם. נניח למשל כי הנוסע מחזיק בידו גוף שצורתו ריבוע. אותו ריבוע נראה מבחוץ, מן המערכת שעל הרציף כמלבן, מאחר ואחד הגדלים 'התכווץ'.  אם נבקש מהנוסע להוכיח לנו שצורת הגוף שהוא מחזיק בידו היא ריבוע, הוא ינסה להציב את הסרגל במאונך לכיוון התנועה, לסמן עליו את אורך הצלע המאונכת. אח"כ הוא יסובב את הסרגל בזוית ישרה לכיוון מאוזן לכיוון התנועה כדי להוכיח לנו כי אורך הצלע המאוזנת שווה לאורך הצלע המאונכת.  אנו נראה מבחוץ כי הסרגל של הנוסע התכווץ בשעת הסיבוב, בדיוק במידה הדרושה לנוסע על הרכבת להוכיח את טענתו, למרות שלנו צורת הגוף נראית כמלבן.

 

הקושי בתפיסה נובע מהנסיון שלנו לייחס לזמן ולמרחק גדלים אבסולוטיים. אנו מנסים להשוות כל גודל אחר לאותו גודל אבסולוטי, ואולם בתורת היחסות לזמן ולמרחק אין משמעות אבסולוטית. הרלטיביזם כאן חזק במובן זה שלא ניתן להשוות את הגדלים במערכת נתונה לגדלים במערכת סטנדרטית שהיא אמת אבסולוטית. כל הגדלים הינם 'צפים' במובן מסויים.6 לפיכך קשה לגלות תופעות של יחסות פרטית אם אנו צמודים למערכת קואורדינטות אחת . ההשוואה בין שתי המערכות מגלה את היחסות הפרטית. הניסוי הבא ימחיש את הטענה.

 

על גבי חללית נציב פצצת זמן. במעבדה שלנו על פני כדור הארץ הכנו פצצה כזאת וחישבנו את הזמן בו היא אמורה להתפוצץ לאחר הפעלתה. נתונה לנו מהירותה של החללית. אנו מניחים כי החללית טסה במהירות קבועה ובכיוון קבוע. נוכל אם כן לחשב בקלות את המיקום בו תהיה החללית כאשר הפצצה תתפוצץ.  ואולם אם מהירותה של החללית גבוהה מאוד החישוב שלנו לא יהיה מדוייק. הזמן בתוך החללית יתקתק לאט יותר ביחס לזמן החיצוני. אם הפצצה אמורה היתה להתפוצץ שניה לאחר הפעלתה כפי שתוכננה במעבדה, היא אכן תעשה כך, אלא שאותה שניה היא שניה במערכת הנעה, שהוא זמן שונה מהזמן במערכת החיצונית.  במערכת החיצונית יעבור זמן ממושך יותר 'באותה השניה' של המערכת הפנימית ולפיכך החללית תעשה מרחק גדול יותר ממה שציפינו עד אשר הפצצה תתפוצץ.7

 

3. אינטרוול המאורעות בתורת היחסות הפרטית: 

 

נניח כי נתונים שני מאורעות, כל מאורע הוא זוג של שני מספרים, האחד זמן והשני מיקום.  המאורעות עצמם הינם יישויות אבסולוטיות, אלא שהקואורדינטות של שני המאורעות שונות בהתאם למערכת שבה בחרנו.  כעת המרחק או האינטרוול בין שני המאורעות יהיה גודל אבסולוטי והוא מוגדר כך:

 

ds2= c dt2 – dx2

                                         

כאשר dt הוא הפרש הזמנים בין שני המאורעות וdx   הוא הפרש המרחקים בין שני המאורעות. הנוסחא שהשתמשנו בה מזכירה את כלל פיתגורס לחישוב מרחקים. ואכן כך יש להבין אותה. המרחק או האינטרוול בין המאורעות נמדד על ידי כלל פיתגורס לארבעה מימדים.

 

הטענה היא שהאינטרוול בין שני מאורעות איננו משתנה כתוצאה משינוי של מערכת הקואורדינטות כלומר כתוצאה מטרנספורמצית לורנץ. כמובן ההפרשים בזמנים וההפרשים במרחקים יהיו שונים בין מערכת למערכת ואולם הביטוי כולו יהיה זהה.

 

c dt2 – dx2= c2 dt'2 – dx'2

                                       

נחזור ונתבונן בציור 1. הוקטור הצבוע בשחור ניתן למדידה באמצעות שתי מערכות של קואורדינטות. אורכו של הוקטור שווה בשתי המערכות, רק הקואורדינטות משתנות. אורכו של הוקטור מסמל את אינטרוול המאורעות אשר מהווה גודל אבסולוטי. כעת ניתן להבין את הטענה כי היחסות הפרטית הינה תורה של סימטריה. הסיבוב, המשול כאן לטרנספורמצית לורנץ לא משפיע על אינטרוול המאורעות שהוא גודל פיזיקאלי. לעומת זאת הסיבוב אכן משפיע על הקואורדינטות הנמדדות שהם הזמן והאורך. 

 

בצורה בה כתבנו את אינטרול המאורעות יוצא כי אינטרוול מאורעות חיובי מעיד על כך כי יתכן וקיים קשר סיבתי בין שני המאורעות. 

                                                      

c2dt2> dx2

 

אם פירושו של דבר הוא כי האור היה מספיק באותו אינטרוול זמן לעבור את אותו אינרוול מרחק, ועל כן יתכן כי ניתן היה להעביר באותו פרק זמן אינפורמציה ממקום התרחשותו של המאורע הראשון אל מקום התרחשותו של המאורע השני. במילים אחרות יתכן והיה קשר סיבתי בין המאורעות. לדוגמא אם אני מדליק פנס על כדור הארץ ובעוד דקה מישהו מדלק פנס על הירח יתכן ויש קשר סיבתי בין האירועים. לאור לוקח רק כשניה אחת להגיע לירח. יתכן כי מישהו הודיע ברדיו לאסטרונאוט על הירח כי אני הדלקתי פס על כדור הארץ ותפקידו כעת להדליק פנס על הירח. לעומת זאת אם ינטרוול המאורעות שלילי כלומר

                                  

< dx2  c2dt2

 

הרי שפרק הזמן dt קצר מדי בכדי שהאור יוכל לעבור בו את המרחק dx  במילים אחרות לא יתכן קשר סיבתי בין שני מאורעות כאלו. לדוגמא אם אני מדליק כרגע פנס על כדור הארץ ובעוד עשר דקות אסטרונאוט מדלק פנס על ירח של צדק, לא יתכן כי יש קשר סיבתי בין האירועים. בכדי שאינפורמציה על הדלקת הפנס על גבי כדור הארץ תגיע בדרך כלשהי לאזור צדק יש צורך ביותר מאשר עשר דקות.                                      

 

מהעובדה כי אינטרוול המאורעות הינו גודל אבסולוטי ניתן ללמוד על התקצרות הזמן והמרחק. לדוגמא נתבונן במקרה של הרכבת הנעה בין ת"א לחיפה. נניח כי מקטר הרכבת בולטת אלקטרודה הטעונה מטען חשמלי גבוה. נניח גם כי על גבי שלט הכניסה לתוך כל רציף מותקנת אלקטרודה דומה עם מטען נגדי. כאשר הקטר חולף על פני שלט הכניסה לרציף נוצר ניצוץ. שני הניצוצות מהווים את שני האירועים. נחשב את האינטרוול בין שני האירועים כפי שהוא נמדד בכל מערכת. עבור הצופה העומד ברציף הפרש הזמנים כפי שהוא מודד אותו בעזרת חברו בחיפה יהיה dt. הפרש המרחקים הוא המרחק בין ת"א לחיפה והוא dx. אינטרוול המאורעות יהיה לפיכך ds2= c dt2 – dx2 . עבור הצופה ברכבת שני האירועים קרו באותה נקודה במערכת שלו כלומר מול הקטר. במילים אחרות, מבחינתו של הנוסע ברכבת, הרכבת היא העומדת והרציף בחיפה מתקרב אליה במהירות גבוהה. שני האירועים מתרחשים כפי שהוא רואה אותם מול הקטר ובזמנים שונים ולפיכךdx'=0 . מן השוויון בין האינטרוולים אנו מקבלים כי:

 

c dt2 – dx2= c2 dt'2

 

אנו אם כן רואים מן הנוסחא כי dt'<dt או במילים אחרות הזמן מתקצר במערכת הנעה או מתקתק לאט יותר. בכדי לשמור על אינטרוול מאורעות קבוע בין שתי המערכות אנו מקבלים כי הזמן במערכת הנעה מתקצר.

 

 

4. קונוס האור וסיבתיות

 

נתבונן כעת במערכת קואורדינטות ארבעה מימדית, שלוש צירי מרחק וציר זמן. כל נקודה על גבי מערכת כזאת מהוה אירוע. לכל אירוע יש מיקום וזמן. מערכת קואורדינטות כזאת נקראת מערכת מינקובסקי על שם אחד ממוריו של איינשטיין. ראשית המערכת, הנקודה (0,0), מציינת אירוע כלשהו נניח את היותי כאן ועכשיו. כעת נוכל להפריד בין מאורעות שמאורע הראשית יכול להיות קשור אליהם סיבתית לבין מאורעות שלא יתכן קשר סיבתי כזה. נתבונן בציור 3 בו נעשתה הפרדה כזאת.  קוים בזוית של 45 מעלות מפרידים בין המאורעות בעלי קשר סיבתי למאורע הראשית לאלו חסרי קשר סיבתי אל מאורע הראשית. מאחר והמרחב כולו ארבע מימדי 'קו' ה-45 מעלות איננו קו כי אם מרחב בפני עצמו. לו מדובר היה במרחב שלוש מימדי המורכב משני מימדי מרחב ומימד אחד נוסף של זמן, היה אותו 'קו' 45 מעלות מגדיר מעטפת של קונוס. זו הסיבה שגם במקרה של מרחב מינקובסקי אנו קוראים למרחב הנוצר על ידי 'קו' ה 45 מעלות 'קונוס האור'. 

 

בנקודה השחורה בציור 3 מסמנת מאורע אשר לא יכול להיות קשור סיבתית לארוע הראשית. הוא מרוחק מדי במרחב בעוד שפרק הזמן בינו לבין הראשית קצר מדי. 

 

 

 

ציור 3

 

 

אותו מאורע נמצא בעתיד של מאורע הראשית שכן ערך ה t הוא חיובי. מאורעות כאלו למרות שנמצאים בעתיד של מאורע הראשית לא יתכן כי מאורע הראשית הוא זה שגרם לקיומם.  בכך תןקפת תורת היחסות הפרטית את מושג הסיבתיות של ניוטון. ניוטון סבר כי פעולה במקום א' יכולה לגרום תגובה מידית במקום ב', כלומר כל שני מאורעות יכולים להיות קשורים סיבתית. מספיק שמאורע ב' נמצא בעתידו של מאורע א' כדי שתתכן האפשרות שמאורע א' גרם למאורע ב'. לעומת זאת אנו רואים מתורת היחסות הפרטית8 כי אירועים אף אם נמצאים אחד בעתיד של השני, יתכן ואינם קשורים סיבתית זה לזה.9

 

צירי המרחב מסמלים מאורעות סימולטניים למאורע הראשית. אלו מאורעות המתרחשים באותו הזמן בו התרחש מאורע הראשית ועל כן אף הם לא יכולים להיות קשורים אליו סיבתית. 

 

כדי להשלים את התמונה ננסה לתאר על גבי מערכת הקואורדינטות בציור 3 את תנועתה של מערכת אינרציאלית אחרת במרחב.10 נתבונן בציור 4. ציר T' שהוא ציר הזמן של המערכת האינרציאלית (צבוע בירוק) הוא וקטור עם שיפוע כלשהו. מהו אותו שיפוע? ומדוע זהו ציר הזמן של המערכת הנעה? עבור הנוסע במערכת הנעה, ראשית הקואורדינטות שלו ממוקמת באחד הקרונות ועבור זמן שהוא מגדיר כזמן 0. ציר הזמן של הנוסע הם כל המאורעות במערכת שלו המתרחשים באותו מקום אבל בזמנים שונים.  מאורעות כאלו יכולים להיות מתוארים על ידי תקתוק שעון המוצב נייח באחד הקרונות. ואולם אותו מקום שקבע הצופה במערכת הנעה כראשית הצירים שלו, נע כפי שזה נראה מן המערכת החיצונית. בין שתי נקודות זמן שונות על פי השעון של הצופה במערכת הנעה, הספיקה כל המערכת לעבור מרחק גדול כפי שזה נראה בתוך המערכת החיצונית. לפיכך האירועים של תקתוקי הזמן בשעון שעל המערכת הנעה מתרחשים במקומות שונים במערכת החיצונית.  זו הסיבה שציר הזמןT'  מתאר מקומות שונים בזמנים שונים (כלומר תנועה) כך שהיחס בין הפרש המקומות להפרש הזמנים כלומר השיפוע של הקו או המהירות קבוע בתוך המערכת החיצונית.

 

 

ציור 4

                                                                     

 

כדי להסביר מדוע ציר X'   נראה משופע בתוך המערכת החיצונית נצטרך לחזור לרגע להגדרה של סימולטניות. ציר ה X של המערכת החיצונית מהווה את כל האירועים המתרחשים סימולטנית עם אירוע הראשית של המערכת החיצונית. באותו מובן צירX'  מהווה את כל האירועים המתרחשים סימולטנית לאירוע הראשית של המערכת הנעה. שני הצירים אינם מתלכדים כלומר אירועים המתרחשים סימולטנית עבור המערכת הנעה אינם סימולטניים עבור המערכת החיצונית. אנו טוענים לפיכך כי הסימולטניות הינה יחסותית. שני אירועים שהם סימולטניים במערכת אחת אינם סימולטניים במערכת אחרת הנעה ביחס אליה. נתבונן בציור 5. הרכבת העוברת מול הצופה על פני הרציף גורמת לניצוץ כאשר מוט על הרכבת מתקרב למוט על גבי הרציף. הניצוץ שייך לשתי המערכות. הצופה על הרכבת רואה את הניצוץ יוצא ממרכז הרכבת ונע לשני הקצוות באותה המהירות היא מהירות האור. הניצוץ מגיע קודם לקרון B ואח"כ לקרון A מאחר וקרון A מרוחק מן הצופה יותר מאשר קרון B.  ואולם הצופה על פני הרציף יתאר את הדברים אחרת. מבחינתו הרכבת נעה במהירות גבוהה ימינה. קרון A אמנם מרוחק יותר אך הוא נע במהירות לעבר הניצוץ. קרון B אמנם קרוב אך הוא בורח מן הניצוץ. במהירות הנכונה (של הרכבת) הניצוץ יגיע לקרון A באותו הזמן בו הגיע הניצוץ לקרון B. לפיכך עבור הצופה העומד ברציף שני האירועים, הגעת הניצוץ לקרון A והגעת הניצוץ לקרון B מתרחשים סימולטנית, בעוד שעבור הצופה על פני הרכבת האירועים אינם סימולטניים. ולהפך נוכל בדיוק באותו האופן להראות כי שני אירועים הנחשבים סימולטניים עבור הצופה על פני הרכבת לא יהיו סימולטניים עבור הצופה ברציף.11 זאת ההוכחה כי ציר האירועים הסימולטניים עבור הצופה על פני הרכבת – X'   לא מתלכד עם ציר האירועים הסימולטניים-  של הצופה על פני הרציף.

 

boaz_.jpg

ציור 5

                     

כעת התמונה המתוארת בציור 4 שלמה. קואורדינטות המערכת הנעה12 נראות כשני צירים משופעים בתוך המערכת החיצונית. הצירים המשופעים הינם מערכת קואורדינטות  הטובה למרחב הארבע מימדי בדיוק כמו הקואורדינטות של המערכת החיצונית. לפיכך ניתן לסכם כך:

 

התנועה האינרציאלית היא לא יותר מאשר שינוי קואורדינטות של המרחב הארבע מימדי.        

 

 

5. סיכום

 

היחסות הפרטית בנויה על ההבנה כי הזמן והמרחק הינם קואורדינטות כלומר גדלים יחסותיים ולא אבסולוטיים. דרך אחת להבין זאת היא להתבונן בתורת היחסות הפרטית כתורה של סימטריה. תחת טרנספורמצית לורנץ שהיא טרנספורמצית הסימטריה מתקבלים גדלים נשמרים כלומר אינוריאנטיים וגדלים שאינם נשמרים כלומר יחסותיים. התוצאה המפתיעה הינה כי גודל כמו זמן הוא גודל יחסותי ולא אבסולוטי כפי שהורגלנו לחשוב עליו. קיימים גדלים אחרים שהם אבסולוטיים כמו למשל אינטרוול המאורעות.  כך קורה גם בסימטריה תחת סיבוב. האורך נשמר תחת הסיבוב, כלומר בכל מערכת מתקבל אותו האורך ואולם הקואורדינטות של הוקטור משתנות בהתאם למערכת בה בחרנו להציג אותו. התפיסה של היחסות כתורה של סימטריה קשורה חזק לתפיסת היחסותיות של הזמן. זמן אם כן יכול להתקדם במרכת אחת בקצב שונה מאשר במערכת אחרת. זהו אחד העקרונות העומדים ביסוד הרעיון של מכונות זמן. חללית הנעה במהירות גבוהה מאוד לעבר כוכב מרוחק מהווה מכונת זמן במובן מסויים. במערכת החיצונית ממנה היא נשלחה עובד זמן ממושך בעוד שעל גבי החללית תקתוק הזמן 'איטי' יותר.

 

התוצאות מפתיעות אותנו ויש להן השלכות פילוסופיות עמוקות מאוד על תפיסת הזמן שלנו, על סיבתיות, על כיוון הזמן, על היחס בין הזמן למרחב, על דטרמיניזם ועוד.

 

 

 

בבליוגרפיה

M.Born, Einstein's theory of relativity, Dover, 1962                                  

L.Sklar, Space,time, and spacetime, Univ.of California Press, 1974            

H.Goldstein, Classical mechanics, Addison-Wesley, 1950                                  

I.Newton, Mathematical principles of of natural philosophy, Book 3, General  scholium, In Great books of the western world, 34, Encyclopedia Britannica Inc 1952                                                                                        

סטיבן ויינברג, פרק שישי תיאוריות יפות, ע"ע 1996

  • 1. Mathematical principles of of natural philosophy, Book 3, General scholium, In Great books of the western world, 34, Encyclopedia Britannica Inc 1952
  • 2. בהנחה שכל משבצת היא ריבוע בעל פאה באורך 1, וכן שדף המשבצות מתפרש לכל הכיוונים עד אינסוף.
  • 3. ראה גם חזון התאוריה הסופית, סטיבן ויינברג, פרק שישי תיאוריות יפות (ע"ע 1996)
  • 4. את טרנספורמצית לורנץ ניתן לרשום גם כסיבוב, ראה גם פרק 7 ב-Classical mechanics by H.Goldstein
  • 5. אנו מניחים כי הרכבת תמיד בתנועה. בשלב מסויים היא חולפת על פני הרציף בת"א ובשלב מאוחר יותר על פני הרציף בחיפה. אם היא מאיצה, או מאיטה, או עוצרת, או מתחילה תנועה, זו כבר לא טרנספורמצית לורנץ ולא המקרה בו מטפלת היחסות הפרטית.
  • 6. על הרלטיביזים המופיע בתורת היחסות ראה גם Space,Time, and Spacetime by Lawrence Sklar, Uni. Of California Press 1974
  • 7. זהו ההסבר לעובדה שחלקיקים כמו מיואונים ניתנים לזיהוי על הקרקע למרות שמקום יצירתם גבוה באמוספירה, מהירותם וזמן מחצית החיים שלהם כפי שאפשר למדוד במעבדה לא מאפשר להם להגיע לקרקע לפני שיתפרקו. זמן מחצית החיים של החלקיקים נמדד במעבדה, בעוד שהחלקיקים נמצאים במערכת הנעה במהירות גבוה. לפיכך במערכת החיצונית עובר זמן ארוך יותר עד שהם מתפרקים, ובאותו פרק זמן הם יכולים לעשות את המסע אל הקרקע. לפי שיתפרקו.
  • 8. למעשה נובע הדבר מהעובדה כי מהירות האור הינה סופית, גם אם היא מאוד גבוה, וכל אינפורמציה העוברת ממקום למקום לא יכולה לעשות זאת במהירות גבוהה ממהירות האור.
  • 9. ואף גרוע מכך ניתן בקלות לתאר מערכת הנעה ביחס למערכת שלנו ובה המאורע המצויין על ידי הנקודה השחורה נמצא בעברה, בה בשעה שהוא בעתידה של המערכת שלנו. לפיכך מאורע ש'עדיין לא התקיים במערכת שלנו הוא כבר בעברה של מערכת אחרת.
  • 10. ראה גם פרק 6.2 ב-Einstein's theory of relativity by Max Born
  • 11. אם נתבונן בשני קרונות המרוחקים באופן שווה מן הצופה ברכבת, יראה אותו צופה את שני הניצוצות מגיעים באותו הזמן כלומר סימולטניים, בעוד שהצופה ברציף יבחין בהפרש זמן ביניהם שכן תנועת הרכבת בכיוון ימינה גורמת לכך שהקרון השמאלי פוגש את הניצוץ לפני שהקרון הימני פוגש אותו.
  • 12. כלומר האירועים המתארים קואורדינטות אלו.

ד"ר בעז תמיר הוא מתמטיקאי ופיזיקאי העוסק בעיקר בתורת המספרים, סיבוכיות חישובית, מכניקה קוונטית, חישוב קוונטי, ופילוסופיה של המדע.

הזמן: בין מדע לאמנות, אפריל 2009