מאה שנה לתורת היחסות: החיפוש אחר סימטריה ושלמות בטבע

מטרת המאמר להציג את תורת היחסות כהיסטוריה של רעיון מתמטי, והוא הסימטריה, כאשר החיפוש אחר התורה המאחדת את כל חוקי הטבע – "הגביע הקדוש", אותו ניסה למצוא איינשטיין בקדחתנות, הוא בעצם החיפוש אחר הסימטריה המושלמת. תורת היחסות היא נקודת מפנה בהבנתנו את מקומה של המתמטיקה במדעי הטבע. תורות הכיול, הממשיכות הטבעיות של תורת היחסות, טוענות לאונטולוגיה של חלקיקים המבוססת בעיקר על טענות מתמטיות, ובכך יוצרות פיזיקה משיקולים מתמטיים.

1. מבוא

תורת היחסות היוותה מהפיכה קופרניקנית בתפיסות המדעיות. הפיזיקה הניוטוניאנית בת מאתים וחמישים שנה ננטשה. מושגים בסיסיים כמו זמן ומרחב הוגדרו מחדש. אפילו הלשון המדעית עברה שינוי קיצוני. כל התורות הפיזיקאליות הקיימות קיבלו ניסוח חדש, קו-וריאנטי, כדי להתאים אותן לתורת היחסות.

תורת היחסות היא בעלת אופי מתמטי ברור. היא מדברת בלשון של סימטריה, ומושתתת על גיאומטריות לא אוקלידיות. סימטריה בשיקולים מדעיים פיזיקאליים היתה חריגה לפני תקופתו של איינשטיין ואילו לאחר קבלתה של תורת היחסות הפכה להיות פופולארית.

לאיינשטיין היה חזון נוסף על תורת היחסות והוא איחוד הכוחות בטבע. הוא הקדיש שנים רבות מחייו לנסיון ליצור תורה פיזיקאלית אחת שתסביר את כל הכוחות הבסיסיים בטבע מתוך אמונה בשלמותו ובפשטותו של הטבע. פיזיקאים רבים הלכו בעקבותיו של איינשטיין בחיפוש אחר התורה המאחדת, דרך החיפוש אחר סימטריות חדשות.

כיצד אם כן "גילו" פתאום המדענים את הסימטריה ? האם מדענים מגלים או ממציאים את הסימטריה ? האם הסימטריה היא לשון בלבד לתיאור הטבע, או שהטבע מעיקרו הוא סימטרי ואנו רק חושפים את אותה סימטריה ? איינשטיין סבר כי הסימטריה מצויה בטבע ואנו רק חושפים אותה. זו לפי השקפתו הסיבה שתאוריה סימטרית תתאר טוב יותר את המציאות. החיפוש המדעי אחר סימטריה ושלמות נועד בכדי להגיע לתיאור מדוייק יותר של הטבע.

מהו המקור לאותה סימטריה ? עבור איינשטיין המקור לאותה סימטריה ושלמות בטבע הוא מטאפיזי והוא האלוהים. כפי שנראה מיד, ניתן לתת רציונאליזציה לסימטריה בטבע גם ללא מטאפיזיקה.

כארבע מאות שנה קודם לכן קופרניקוס משתמש בטענות דומות בכדי להצדיק את נכונותה של מערכת ההנחות שלו כנגד המערכת הישנה של תלמי. תלמי מתאר את מה שרואים בעליל בשמיים ואילו על קופרניקוס להצדיק טענות שנראות לכאורה הרבה יותר ספקולטיביות. קופרניקוס רואה בהרמוניה שיש בתאוריה שלו, בלכידות שלה, כלומר בעובדה שכל חלקיה מחוברים כל כך בהתאמה זה לזה ובאופן שלא ניתן להסיר אף לא אחד מהם מבלי להרוס את כל התאוריה, כהוכחה לאמיתותה. ההרמוניה שבתאוריה מעידה על אמיתות, מכיוון שהעולם הוא הרמוני, והתאוריה חושפת את אותה הרמוניה (בכלר).

קפלר ניסה לבנות תיאוריה סימטרית והרמונית לתיאור מסלול ששת כוכבי הלכת שהיו ידועים עד זמנו[i]. התיאוריה דיברה על גופים פוליגונאליים מושלמים במרחב בעל שלושה מימדים. קיימים חמישה גופים כאלו[ii], כאשר כל אחד מהם יכול לחסום מעגל, ויכול להיות חסום במעגל. קפלר הרכיב את חמשת הגופים האחד בתוך השני, כאשר שש הספירות החוצצות ביניהם מציינות את מסלולם של כוכבי הלכת. התורה של קפלר אוכפת בצורה מלאכותית הרמוניה ומתמטיקה על הטבע, וקפלר נאלץ לוותר עליה, לטובת תיאוריה הרבה פחות הרמונית (Koestler).

במאה העשרים נוכל לעומת זאת למצוא גם התייחסויות שונות לחלוטין לסימטריה. דיראק למשל הדגיש את החשיבות המתודולוגית של היופי המדעי אף אם היא על חשבון התיאור האמיתי:

"It is more important to have beauty in one's equations than to have them fit experiment" [iii]

ואולם אף הוא כנראה האמין בתכונות המתמטיות של הטבע. כך עשה כאשר השתמש בפתרונות הלא מקובלים למשוואות הקוונטיות שלו, כהשערה לקיומם של חלקיקים חדשים, הם הפוזיטרונים שנתגלו מאוחר יותר.

אנו ננסה כאן להבין את מקומה החשוב של הסימטריה בתורת היחסות. ננסה גם להבין את משמעות החיפוש אחרי תורה מאחדת של הכוחות דרך החיפוש אחר סימטריה. התאור של תורת היחסות במאמר איננו תיאור כרונולוגי של הפיזיקה אלא תיאור התגלגלות רעיון הסימטריה בתורת היחסות ותורות כיול נוספות כדרך להבנת חשיבותו כיום בפיזיקה[iv].

2.סימטריה , הגדרות מושגים

הסימטריה כוללת שני רכיבים. הרכיב הראשון הוא פעולה, והשני הינו גודל או צורה אשר אינם משתנים תחת אותה הפעולה. לדוגמא הצורה המתוארת באיור 1 הינה סימטרית תחת פעולה של סיבוב הדף עם כיוון השעון ב 72 מעלות. פעולת הסימטריה אם כן הינה סיבוב ב 72 מעלות עם כיוון השעון.

העתקה של תבנית לכיוון כלשהו ולמרחק מסוים יכולה אף היא להיות סימטריה. דף משבצות אינסופי הוא סימטרי תחת העתקה ימינה, שמאלה, למעלה או למטה למרחק השווה לאורך משבצת או כפולה שלמה שלו.. הצורה המתוארת באיור 2, דוגמת רצפה מיקנאית (1200 לפני הספירה) שהתגלתה במגרון, הינה סימטרית תחת פעולה אחרת והיא פעולה של שיקוף. אם נציב מראה לאורך הציר המרכזי של איורים 2 ונשקף את החלק הימני של האיור על החלק השמאלי, נקבל בדיוק את אותה הדמות[v].

חבורת הסימטריה

אותו גוף או צורה יכולים להיות סימטריים תחת יותר מפעולה אחת, כמו למשל תחת סיבוב וכן תחת שיקוף. בנוסף ניתן גם להרכיב פעולות זו על גבי זו. בדוגמא באיור 1 יכולנו לסובב את הדף ב 72 או 144 מעלות עם כיוון השעון מבלי לשנות את הדמות. באותו האופן יכולנו להרכיב את הפעולות זו על גבי זו, כלומר לסובב ב 72 מעלות ואחר כך לסובב ב 144 מעלות נוספות. הרכבה של שני הסיבובים האחרונים הייתה שקולה לסיבוב ב 216 מעלות עם כיוון השעון שאף היא פעולת סימטריה על הדמות. קבוצת כל פעולות הסימטריה על גוף מסויים מקיימת תכונות של "חבורה" מתמטית[vi].

חבורה כזאת יכולה להיות גדולה מאוד ואף אינסופית. לדוגמא אם נתבונן בעיגול נראה שהוא סימטרי תחת סיבוב כלשהו, וכן תחת הרכבה של שני סיבובים כלשהם.

סימטריה ואינפורמציה

אנו רואים כי ככל שהגוף סימטרי יותר כך צריך פחות אינפורמציה כדי לתאר אותו. אם הוא סימטרי תחת שיקוף דרך ציר אנכי הרי שמספיק לתאר את הצד השמאלי שלו. אם הוא גם סימטרי דרך ציר מאוזן הרי שמספיק לתאר רק רבע ממנו, וכן הלאה.

אנו מקשרים בדרך כלל סימטריה ליופי כלומר לערך אסתטי חיובי. במדע לעומת זאת הסימטריה יכולה להיות ניטראלית. במילים אחרות הטבע "משתמש" בסימטריה בכדי לגלות "חוסר אכפתיות": סימטריה בטבע מעידה על משתנה מיותר, על חוסר חשיבות של פרטים מסוימים, או על אינפורמציה שניתן לוותר עליה ( Kosso (. ניתן אם כן לתת רציונאליזציה לסימטריה שבטבע ללא צורך במטאפיזיקה.

סימטריה ואינוריאנטיות

פעולת הסימטריה משאירה גודל מסוים ללא שינוי – הגודל הסימטרי, ואילו גדלים אחרים משתנים. אנו אומרים שהגודל הקבוע הוא אינ-וריאנטי[vii] תחת הפעולה.

באיור 3 סובבנו את מערכת הצירים נגד כיוון השעון ב 30 מעלות. הנקודה F אשר הקואורדינטות שלה במערכת הצירים המקורית הן x F ו y F מקבלת קואורדינטות חדשות x' F ו F y' . אנו חושבים על הנקודה עצמה או על הוקטור שהיא מגדירה, כ"פיזיקאליים", או כקבועים תחת אותו סיבוב, מה שמשתנה אם כן הוא התיאור שלהם. סיבוב מערכת הקואורדינאטות הוא לא יותר מאשר תיאור חדש, נקודת מבט חדשה. סיבוב כזה לא יכול לשנות את התכונות ה"פיזיקאליות" של הוקטור כמו למשל האורך, כלומר המרחק מן הראשית לנקודה F. אנו אומרים כי אורך הוקטור הוא גודל אינוריאנטי תחת פעולת הסיבוב[viii].

סימטריה בחוקי הטבע

המושגים חוק טבע ואינווריאנטיות קרובים מאוד אחד לשני ((Wigner. ללא אינווריאנטיות לא ניתן לדבר על חוק טבע. רק בשל העובדה שתופעות הטבע הן אינוריאנטיות לרוב המשתנים, ניתן לקשר בין תנאי ההתחלה בהם מצוי הגוף לבין המסלול שלו, כלומר לרשום חוק פיזיקאלי. אינווריאנטיות וסימטריה אם כן הם הקונטקסט שבו רשום החוק.

בלשון פורמאלית יותר נאמר כי חוק טבע הוא סימטרי תחת פעולה מסוימת אם ניסוח החוק אינווריאנטי תחת אותה הפעולה.

לדוגמא נתבונן בסימטריה תחת העתקה בזמן. בדרך כלל חוקי הטבע הם אינוריאנטיים תחת העתקה בזמן. אם נערוך ניסוי היום במעבדה, ונחזור על אותו ניסוי מחר, נצפה שתוצאת הניסוי תהיה זהה למרות השינוי בזמן. דוגמא נוספת היא העתקה במרחב. אם נערוך ניסוי כאן בחדר ואחר כך נחזור על אותו ניסוי בחדר הסמוך, נצפה שתוצאת הניסוי תהייה זהה למרות השינוי במיקום. העתקה של המיקום או הזמן לא אמורה להשפיע על תוצאת הניסוי. גם אם סובבנו את המעבדה בה נערך הניסוי ב 30 מעלות עם כיוון השעון לא אמור הדבר להשפיע על תוצאת הניסוי.

חוקי הטבע מנוסחים על ידי משוואות הנקראות משוואות תנועה. משוואות התנועה מתארות את ההתרחשות על פני רצף של זמן[ix]. אם ידועות לנו משוואות התנועה, וכן ידועים לנו תנאי ההתחלה בהם נמצא החלקיק, הרי שניתן לחשב מה יקרה לחלקיק בכל נקודת זמן עתידית. דוגמא למשוואת תנועה היא החוק השני של ניוטון המתאר את התאוצה כתוצאה של הפעלת כוח, F=ma.

איור 4 מדגים ניסוח מתמטי-פיזיקאלי של סימטריה תחת שינוי המיקום. הקווים האנכיים המפותלים מדמים התרחשות בזמן שעובר חלקיק הנע על פי משוואות התנועה שלו. האופרטור H מסמל הפעלה של משוואות התנועה על החלקיק, האופרטור T מסמל שינוי מיקום. נניח שאנו מאפשרים לחלקיק לנוע על פי משוואות התנועה כאשר הוא יוצא מנקודה A. באיור 4 תנועה כזאת מתוארת על ידי הקו המתפתל השמאלי. לחילופין נניח שאנו מעתיקים את החלקיק מנקודה A לנקודה B ורק אחר כך מאפשרים לו לנוע על פי משוואות התנועה. באיור 4 אפשרות כזאת מתוארת על ידי הפעלה של אופרטור T, שהוא הקו המאוזן התחתון, ואחריו אופרטור ,H שהוא הקו המפותל הימני. שתי התוצאות שנקבל נבדלות ביניהן אך ורק במיקום, כלומר בהפעלה של אופרטור T, הקו המאוזן העליון, כפי שמדגים האיור. כלומר התוצאה תהיה אותה תוצאה, מלבד העובדה שקיבלנו אותה במקום אחר, כי התחלנו ממקום אחר.

דרישת הסימטריה תחת שינוי מיקום שקולה אם כן לדרישה כי T H = HT , כלומר הפעלה של אופרטור T ואחריה הפעלה של אופרטור H שקולה להפעלה של אופרטור H ואחריה הפעלה של אופרטור T. אנו אומרים גם שהאופרטור T מתחלף עם האופרטור H. סימטריה אם כן, גוררת את תכונת החילופיות של האופרטורים.

בפיזיקה קוונטית אופרטורים מייצגים תכונות הניתנות למדידה, ועל כן סימטריה תהיה מוגדרת דרך תכונותיהם של אופרטורים. אופרטור סימטרי בפיזיקה קוונטית יוגדר על פי איור 4 , כלומר תכונת החילופיות של אופרטורים הופכת להיות הגדרה לסימטריה.

משפט נתר[x]

משפט נתר קובע התאמה בין סימטריות לבין גדלים נשמרים ((Goldstein. המשפט מייחס לכל סימטריה, גודל שהוא קבוע של משוואות התנועה, כלומר גודל שאינו משתנה בזמן (צריך להיזהר מבלבול מושגים בין קבוע תחת פעולת הסימטריה לקבוע של התנועה שהוא קבוע בזמן, ציר הזמן פה מקבל מעמד מועדף מכיוון שעל פיו מוגדרות משוואות התנועה).

סימטריה >------------------------> גודל נשמר

לדוגמא סימטריה תחת העתקה של המיקום קשורה לעובדה שמומנט ליניארי (כמות התנועה) נשאר קבוע בזמן. ננסה להבין את הדוגמא האחרונה אינטואיטיבית. אם העתקה של המיקום אינה משפיעה על התנועה הרי שכל נקודות המרחב שקולות ויכולות להוות תנאי התחלה שווים למערכת (איור 4). ואולם אם במקום כלשהו במרחב ישנה נקודה שבה מופעל כוח כלשהו על המערכת הרי שהתקרבות שלנו לאותו מיקום משפיעה על המערכת, ולכן העתקה של המיקום כבר לא תהיה יותר סימטריה. ברור אם כן כי לא תיתכן נקודה במרחב שבה מופעל כוח כלשהו על המערכת. ואולם ללא כוח אין שינוי בכמות התנועה (על פי החוק השני של ניוטון). מכאן נובע שסימטריה תחת העתקה של המיקום משמעותה כמות תנועה (מומנט) קבועה בזמן.

באופן דומה, סימטריה תחת סיבוב קשורה לעובדה שכמות התנועה הסיבובית (מומנט סיבוב) נשארת קבועה בזמן. וכן, סימטריה תחת העתקה של הזמן קשורה לעובדה שכמות האנרגיה הכללית נשארת קבועה בזמן.

התנאים לקיומו של משפט נתר קשורים לדרישה שאינטגראל של הלגראנג[xi] יהיה סטציונרי[xii]. דרישה כזאת נתפסת כדרישה פיזיקאלית שאיננה א-פריורית. במקרה כזה משפט נתר הוא תוצאה של העובדה הפיזיקאלית הבלתי מוסברת שאינטגראלים כאלו הם תמיד סטציונארים. מאידך ניתן לראות במשפט נתר עצמו עקרון בסיסי בפיזיקה ולא תוצאה. העיקרון לפיכך אומר כי כל סימטריה של המערכת, מעידה על קיומו של גודל שאיננו משתנה בזמן, כלומר קבוע של המערכת ((Mills.

משפט נתר מדבר לא רק על סימטריות ביחס לזמן ולמרחב אלא גם על סימטריות ביחס למשתנים אחרים של התנועה. במקרה שהמערכת היא שדה[xiii] מדובר על פעולות סימטריה על משתני השדה.

3.תורת היחסות

בפרק זה ננסה לתאר את תורת היחסות כתורה של סימטריה. הבנה של הסימטריות המופיעות בתורת היחסות היא המפתח להבנת תורות כיול אחרות וכן להבנת משמעות קיומה של תורה מאחדת.

יחסות פרטית

ננסה להגדיר כעת סימטריה חדשה. נתאר ניסוי המתרחש במעבדה הנעה על פנינו במהירות קבועה ובכיוון קבוע, כאשר אנו צופים בה מתוך מערכת קבועה במקומה. מה יהיו תוצאות הניסוי ? האם תוצאות אלו יהיו שונות מתוצאות ניסוי זהה לו הנערך במערכת הקבועה ?

אם נאתר למשל גדלים פיזיקאליים אשר ערכם במערכת הנעה שונה מערכם במערכת הנייחת, יהיו אלו גדלים יחסותיים. לעומתם גדלים פיזיקאליים אשר אינם מושפעים מפעולה כזאת יקראו גדלים אבסולוטייים. פעולה כזאת על המערכת נקראת טרנספורמצית לורנץ. אנו חושבים על הגדלים היחסותיים כגדלים המשתנים בין "נקודת מבט" אחת למשניה, כלומר ככאלו שאינם רצויים בתיאוריה פיזיקאלית טובה, ואילו הגדלים האבסולוטיים הם האינווריאנטיים של הטרנספורמציה, הם הגדלים הרצויים בתאוריה פיזיקאלית, שכן אינם משתנים כתוצאה משינוי "נקודת המבט".

תורת היחסות הפרטית מוצאת כי הזמן והאורך הינם גדלים יחסותיים, ואילו מהירות האור הינה גודל אבסולוטי. הטענה כי הזמן והאורך הינם גדלים שמשתנים ממערכת למערכת היא קשה מאוד לתפיסה

ולא נעסוק בה כאן. בשלב זה של הדיון נקבל אותה כתוצאה. אם לדייק יותר האורך והזמן מתקצרים. העובדה שהזמן מתקצר פירושה ששעון "מתקתק" לאט יותר. אם נעמיד שני שעונים מסונכרנים לאורך רציף רכבת, למשל בשתי תחנות שונות, ושעון אחד בתוך הרכבת, נגלה כי בשעה שהרכבת חולפת בין שתי התחנות, מדידת הפרש הזמן על גבי הרציף תראה זמן גדול יותר מהזמן המתקבל על השעון שנמצא ברכבת. אנו מניחים שהרכבת לא עוצרת, מאיצה או מאיטה, אלא חולפת בין שתי התחנות במהירות קבועה, וששתי התחנות נמצאות על גבי קו מסילה ישר. בדומה, משמעות הטענה כי האורך מתקצר פירושה כי אם הנוסע שעל הרכבת מחזיק בידו סרגל, ואנו מנסים למדוד את אורך הסרגל שעל הרכבת באמצעות סרגל זהה המצוי בידנו, וזאת בשעה שהרכבת חולפת על פנינו, אזי נבחין שהסרגל בידי הנוסע ברכבת התקצר. מידת ההתקצרות של הסרגל או ההאטה של הזמן תלויים במהירות המערכת.

ניתן לתאר את הטענה שצירי הזמן והמרחק מתקצרים על ידי הצגת מערכת קואורדינטות שונה. מדובר במרחב בעל ארבע מימדים, שלוש מימדי מרחב רגילים ומימד אחד של זמן. כיווץ של הזמן והמרחק הוא שינוי של קואורדינטות המרחב הארבע מימדי ולכן שקול לבחירה של בסיס קואורדינטות חדש, ראה איור 5.

הנקודה F מתארת מאורע כלומר נקודה במרחב-זמן. כדי לתאר את הקואורדינטות של המאורע בשתי המערכות משכנו קוים היוצאים מן הנקודה ומקבילים לצירי אותה המערכת. ברור כעת כי במערכת החדשה התקצרו הקואורדינטות.

יחסות כשפה חדשה, קו–וריאנטיות

תורת היחסות הפרטית הוצגה ב 1905 ומהר מאוד הפכה להיות השפה החדשה של הפיזיקה. גם כיום, בהינתן תיאוריה חדשה, הניסוח ה"נכון" שלה הוא ניסוח אשר איננו תלוי במערכת הקואורדינטות, כלומר הוא ניסוח העושה שימוש בגדלים אבסולוטיים. כתיבה של נוסחה תוך כדי שימוש בגודל יחסותי מסורבלת יותר מאחר והיא מחייבת אותנו לזכור תמיד באיזו מערכת קואורדינטות מדובר. הכתיבה "הנכונה" היא סימטרית, כלומר טובה לכל מערכת קואורדינטות.

ראינו מהו גודל אינוריאנטי ואולם הגדלים של משוואה פיזיקאלית יכולים להכיל גם איברים קו-וריאנטיים, כלומר איברים המשתנים בין מערכת אחת לשנייה אבל עושים זאת בהתאמה לטרנספורמציה. אלו נקראים וקטורים וטנזורים. חוק פיזיקאלי יכול להיות מנוסח באמצעות שוויון בין שני וקטורים או שני טנזורים. במקרה כזה אנו אומרים שלמשוואה הפיזיקאלית יש ניסוח קו-וריאנטי.

באיור 3 למעלה, סיבוב של מערכת הקואורדינטות גרם לכך שאותו הוקטור קיבל קואורדינטות חדשות. הקואורדינטות של הוקטור השתנו בהתאם לסיבוב, כלומר בצורה קו-וריאנטית, וזה בדיוק מה שמאפשר להסתכל על הוקטור כישות פיזיקאלית[xiv]. ניתן לרשום חוק טבע באמצעות שוויון בין שני וקטורים. העובדה שהם בעלי קואורדינטות שונות בכל מערכת לא תפריע כל עוד שניהם משתנים באותו האופן.

הניסוח הקו-וריאנטי של חוקי מקסוול הופך אותם לפשוטים עוד יותר, עד כדי נוסחה אחת בלבד. זו דוגמא יפה לכך שכתיבה קו-וריאנטית פשוטה יותר מכתיבה רגילה.

יחסות כללית

יחסות כללית נובעת מהרצון להכליל את תורת היחסות הפרטית. כיצד נרשום חוקי הטבע אינוריאנטיים תחת טרנספורמציה כלשהי (ולאו דווקא טרנספורמצית לורנץ). נניח למשל שאנו מתבוננים במערכת הסובבת סביב ציר כלשהו, האם גם אז נוכל לזהות גדלים אינווריאנטיים או גדלים קו-וריאנטיים ? כיצד נרשום במקרה כזה משוואות תנועה ? לצורך תשובה על השאלה נסקור תחילה עקרון בסיסי של תורת היחסות הכללית.

עקרון השקילות

עקרון השקילות אומר כי לא ניתן יהיה להבדיל בין שדה כוח הפועל על מערכת בשל תאוצתה לבין שדה גרביטציה. נתבונן לדוגמה במעלית המאיצה כלפי מעלה. אנו מכירים את ההרגשה כאילו בטננו מתהפכת, או כאילו כוח פועל עלינו ומושך אותנו כלפי מטה. אנו חשים את התאוצה של המעלית כלפי מעלה כאילו היא כוח משיכה. דוגמא נוספת היא חללית המואצת כלפי "מעלה"[xv]. בחללית כזאת היינו מרגישים כוח המושך אותנו לכיוון השני, כלפי "מטה". על פי עקרון השקילות לא ניתן להבדיל בין כוח כזה לכוח גרביטציה[xvi]. אותו כוח משיכה היה מתקבל לו הפסקנו את תאוצת החללית, ובו זמנית הופיע כוכב "מלמטה".

בחללית ניתן ליצור גרביטציה מלאכותית על ידי סיבוב החללית סביב ציר כלשהו. סיבוב כזה "ידביק" את תושבי החללית לדפנותיה, ואלו יהפכו להיות רצפת החללית[xvii].

החלפנו אם כן את הגרביטציה בתאוצה של מערכת הקואורדינטות.

ואולם תאוצה של מערכת שקולה להצגה של גיאומטריה חדשה באותה מערכת. ננסה להסביר טענה זאת באמצעות דוגמא: כאשר אנו עומדים במרכז קרוסלה ומתבוננים החוצה[xviii], כלפי השפה, אנו רואים כל דבר חולף במהירות על פנינו, ובמהירות ההולכת וגדלה ככל שהחפץ קרוב יותר לשפה. על פי תורת היחסות הפרטית כל הגדלים יראו כמתקצרים. מידת ההתקצרות הולכת וגדלה ככל שמתבוננים רחוק יותר לעבר השפה[xix]. התקצרות כזאת משמעותה כי הגיאומטריה של המרחב המסתובב כבר לא אוקלידית[xx].

נחבר כעת את שתי הטענות האחרונות. את שדה גרביטציה שפועל על המערכת החלפנו בתאוצה של המערכת עצמה, ואולם ראינו כי תאוצה של המערכת משנה את הגיאומטריה של המרחב. מכאן נקבל כי גרביטציה משנה את הגיאומטריה של המרחב.

ואכן, המשוואה העיקרית של תורת היחסות הכללית אומרת :

T הוא טנזור אנרגיה ומומנט, המתאר את פיזור המסה והאנרגיה, G הוא טנזור המתאר את עיקום המרחב[xxi]. פיזור המסה במרחב קובע את עיקומו של המרחב, ולהפך, עיקומו של המרחב קובע את פיזור המסה בו.

הבנה עמוקה של הנוסחאות של איינשטיין חורגת הרבה מעבר לדיון כאן, ואולם נעיר רק הערה אחת:

המשוואות של אינשטיין אינן משוואות "רקע" במובן זה שיש להחיל אותן על מסה חיצונית הנקלעת לשדה גרביטציה[xxii]. אלא שכל מסה הקיימת במרחב משתתפת בקביעת עיקומו. העיקום שיתקבל יקבע כיצד המסות האלו ינועו, ותנועתן של אותן המסות ישנו את עיקומו של המרחב. המסה אומרת למרחב כיצד להתעקם ואילו המרחב העקום אומר למסה כיצד לנוע.

עד כאן ראינו את תיאורו של המרחב, ואולם כיצד יתוארו חוקי הטבע בנקודות שונות באותו מרחב עקום, למשל כיצד נתאר כוח אלקטרומגנטי בגיאומטריה כלשהי ?

משוואות תנועה מעל שדה הגרביטציה

כדי לחשב כיצד ינוע חלקיק הנמצא בשדה גרביטציה, עלינו להחליף את הגרביטציה בגיאומטריה המתאימה, ולחשב את תנועת החלקיק בגיאומטריה החדשה. המסה הגרביטציונית אם כן קובעת את הגיאומטריה, והגיאומטריה קובעת כיצד ינועו החלקיקים באותה גיאומטריה.

משוואות התנועה או חוק הטבע שאנו רוצים לתאר צריך להיות נכון בכל נקודה במרחב, כלומר תחת כל עיקום, כלומר תחת כל שינוי של מערכת הקואורדינטות. את זה אפשר לעשות באמצעות שוויון בין טנזורים. בדומה לטנזורים של יחסות פרטית, הטנזורים כאן הם גדלים המשתנים בהתאם לשינויי הגאומטריה. משוואת התנועה נשארת אותה משוואה מעל לכל נקודה במרחב, מכיוון שכל הטנזורים המופיעים בה משתנים בדיוק באותו האופן. המשוואה עצמה יוצרת אמת אונטולוגית חדשה, נכונה בכל נקודה במרחב.

דרך אחרת להציג את משוואות התנועה מעל שדה הגרביטציה, ואת שדה הגרביטציה עצמו, היא דרך סימטרית הכיול.

סימטריה של כיול

בהגדרת הסימטריה למעלה השתמשנו בפעולה אחת על כל המרחב. האם ניתן להגדיר סימטריה כאשר פעולת הסימטריה משתנה ממקום למקום או מזמן לזמן ? נראה כי גם פעולה כזאת יכולה להגדיר סימטריה. נתבונן בגליל. נתאר לנו פעולה של סיבוב הגליל סביב צירו המרכזי. כעת נחתוך את הגליל לפרוסות ונגדיר זוית סיבוב שונה לכל פרוסה. פעולת הסימטריה הזאת משתנה ממקום למקום על פני הגליל. הגליל כולו נשאר אינווריאנטי תחת הפעולה.

בדומה נתבונן ב - Circle limit IV של אשר, אנו רואים כי הכיול משתנה ממרכז הציור כלפי השפה. שתי הדמויות בשחור לבן, מופיעות בכל נקודה במרחב בגודל שונה ובזוית שונה. בכל נקודה ישנה פעולה אחרת של סימטריה המשלבת כיווץ של הקואורדינטות וסיבובן.

ישנו יחס קבוע בין הדמויות שבציור. הזנבות של שלוש דמויות שחורות יוצרות את זנבותיהן של שלוש דמויות לבנות. היחס הקבוע הזה אינו משתנה תחת הכיול.

בשפה פיזיקאלית הדמויות בציור של אשר הן טנזורים תחת פעולת הכיול. הדמות מופיעה כל פעם בזוית ובגודל שונים, ואולם שומרת על אותו מבנה, ולכן נראית לנו כאותה הדמות. היחס הקבוע שבין הדמויות הוא "חוק הטבע" המבוטא באמצעות הטנזורים.

בדומה, יחסות כללית היא תורה בעלת סימטריה של כיול. כפי שראינו למעלה, אנו שואפים לנסח את חוקי הטבע באופן שיהיו בלתי תלויים במערכת הקואורדינטות המקומית. ניסוח כזה ניתן לעשות על ידי שוויון בין שני טנזורים. אפשר לחשוב על הטנזור כאילו הוא ביטוי המכוייל בצורה שונה בכל מקום ובכל זמן ועל פי הגיאומטריה הלוקאלית של המרחב.

סימטריה של כיול בתורה האלקטרו מגנטית

הדוגמה הטובה ביותר של סימטרית כיול היא סימטרית הכיול של התורה האלקטרומגנטית. מתוך הדוגמה נוכל להבין כיצד צצו ועלו פתאום בעשורים הראשונים של המאה העשרים סימטריות כיול חדשות, ואיתם שדות כיול חדשים.

השדה המיוחס לחלקיק בעל מטען חשמלי הוא שדה של מספרים מרוכבים. בלשון אחרת אנו מצמידים לחלקיק מערכת צירים פנימית בעלת שתי קואורדינטות. פעולת הסימטריה היא סיבוב של מערכת הצירים הפנימית, בלשון מתמטית, "שינוי פאזה". זוית הסיבוב של המערכת הפנימית משתנה ממקום למקום ומזמן לזמן, כלומר פעולת הסימטריה היא לוקאלית.

אינווריאנטיות של כל המשוואות לשינוי הפאזה הוא הגיוני מבחינה פיזיקאלית, ואולם הלגראנג', שקובע את משוואות התנועה איננו אינווריאנטי תחת שינויי הפאזה. בכדי להפוך אותו לאינווריאנטי תחת פעולת הסיבוב יש צורך להוסיף לאינטגראנט שדה. השדה כמו פעולת הסימטריה יהיה אף הוא תלוי במיקום ובזמן. שדה כזה נקרא שדה כיול. השדה שהוספנו נראה לכאורה מלאכותי וכל תפקידו הוא לשמור על סימטריה מתמטית, או אינוריאנטיות של אינטגרל מסויים.

על פי משפט נתר (ראה למעלה) ניתן לקשור בין הסימטריה הלוקאלית שיצרנו לבין שימור לוקאלי של גודל מסויים. הגודל הנשמר הוא המטען. כעת פעולת הסימטריה מקבלת מובן ברור, כסימטריה המחוייבת משימור המטען. הסימטריה והשימור הם לוקאליים. שימור לוקאלי של מטען משמעותו כי מטען לא יכול להיעלם במקום אחד או לצוץ סתם כך במקום אחר. אם מטען נעלם במקום אחד אזי אותו מטען יופיע במקום אחר ונוכל לזהות זרם של מטען מהנקודה בה נעלם לעבר הנקודה בה הופיע.

השדה המלאכותי שיצרנו כדי לשמור על המטען הוא השדה האלקטרומגנטי, כאשר הזרם המיוחס לחלקיק מהווה את המקור לשדה[xxiii]. היחס בין שדה הכיול לזרם הוא בדיוק הטענה המנוסחת במשוואות מקסוול.

שדה אלקטרומגנטי ניתן לייצג על ידי חלקיקים - פוטונים. בניסוח קיצוני של האמור לעיל, הפוטונים קיימים על מנת לשמור על סימטריה של כיול. כלומר חלקיקים מסויימים קיימים אך ורק בשביל לשמור על סימטריה מתמטית.

4. איחוד כוחות< הטבע

איינשטיין הקדיש שנים רבות בניסיון עקר ליצור מסגרת אחת לחוקי הטבע הבסיסיים. החזון לאיחוד כוחות הטבע תחת מסגרת תיאורתית אחת בנוי על התובנה העמוקה שהטבע הוא בעל תכונות סימטריות ומושלמות. ניתן להבין את הרקע לתפיסה הזאת לאור ההצלחה של תורת היחסות כתורה מתמטית מאוד, סימטרית מאוד, מושלמת מהרבה בחינות.

צעד ראשון בכיוון איחוד הכוחות עשה כבר מקסוול בסוף המאה התשע עשרה באיחוד של הכוח החשמלי והמגנטי תחת מסגרת אחת של נוסחאות. גם הנוסחאות של מקסוול הן בעלות סימטריה ברורה בין כוחות חשמליים למגנטיים[xxiv]. הנוסחאות של מקסוול אינווריאנטיות תחת טרנספורמציה של לורנץ[xxv], עובדה המרמזת ברור על תורת יחסות.

כבר בסוף המאה התשע עשרה הפיזיקאי והפילוסוף האוסטרי ארנסט מאך היה קרוב מאוד לגילוי תורת היחסות. מאך תקף את המסקנות של ניוטון מניסוי הדלי המפורסם[xxvi]. מערכת המסתובבת סביב ציר כלשהו, טען מאך, שקולה למערכת העומדת בשעה שכל הסובב אותה, כולל כל הכוכבים הרחוקים ממנה, מסתובבים סביבה. לו עצרנו את הקרוסלה שבדוגמא למעלה וסובבנו את כל העולם סביבה היו, לדעת מאך, התופעות שעל פני הקרוסלה נשארות כפי שהן. מאך השתמש בטענה כדי לתקוף את המסקנה של ניוטון בדבר מרחב אבסולוטי, ואולם לא הצליח להגיע לניסוח מלא של תורת יחסות. למרות זאת יש בטענה של מאך רמז לתורות הכיול המודרניות.

על פי מאך עולם הסובב סביב הקרוסלה, בשעה שהקרוסלה נייחת, היה משרה שדה כוח על הקרוסלה וגורם בה לאותן תופעות גרביטציוניות[xxvii]. מכאן ניתן היה להסיק כי קיומו של אותו שדה כוח נועד כדי להבטיח את שקילות שתי המערכות. בשפה מודרנית יותר, שדה הכוח קיים כדי לשמור על סימטריה תחת הכיול.

גם בדיון כאן ראינו דמיון ברור בין התורה האלקטרומגנטית לבין הגרביטציה, שתיהן תורות של כיול. מכאן עולה שאלה לגבי כוחות אחרים בטבע – האם אף הם נובעים מדרישות של סימטריה. ואכן סימטרית הכיול הפכה להיות רווחת מאוד בפיזיקה של החלקיקים באמצע המאה העשרים, מתוך מטרה לתאר באותו אופן גם כוחות אחרים.

שדות כיול

באותו האופן בו תארנו את סימטרית הכיול של השדה האלקטרומגנטי ניתן לתאר שדות אחרים של כיול[xxviii]. אנו מצמידים לחלקיק מערכת קואורדינטות פנימית בעלת מספר קואורדינטות. החלקיק מיוצג על ידי וקטור באותה המערכת. בדוגמא למעלה ראינו חלקיק עם וקטור פנימי בעל שני רכיבים ופעולת סיבוב לוקאלית. באופן דומה ניתן לקחת וקטור פנימי רב מימדים ולהפעיל עליו חבורה של מטריצות. בכדי לקבל סימטריה של הלגראנג' תחת פעולה של חבורת המטריצות נצטרך להגדיר שדה כיול חדש. הסימטריה תקרא סימטריה לא אבלית, או לא קומוטטיבית[xxix], מכיוון שחבורת הסימטריה היא חבורת מטריצות ועל כן בדרך כלל לא קומוטטיבית.

לדוגמא, ניתן להצמיד שדה כיול לקוורקים על ידי סיבוב לוקאלי במרחב פנימי שלוש מימדי. חלקיקי שדה הכיול הם הגלואונים, והם אחראים לכוח החזק. התורה כולה נקראת כרומודינמיקה קוונטית.

שדות הכיול שראינו למעלה אחראים להופעתם של חלקיקים חסרי מסה כמו הפוטונים. ואולם על ידי תהליך שנקרא שבירת סימטריה ספונטנית ( (Aitchisonניתן לתאר גם שדות כיול אשר יוצרים חלקיקים בעלי מסה ולכן בעלי טווח פעולה סופי[xxx].

שדה הכיול מגדיר גיאומטריה חדשה על המרחב (Ryder). ערכי השדה בכל נקודה מגדירים את טנזור עיקום המרחב באותה נקודה. המשוואות בין שדה הכיול והזרם, כלומר משוואות מקסוול, דומות למשוואות איינשטיין המזהות בין טנזור עיקום המרחב לטנזור האנרגיה והמסה. שיוך גיאומטריה לשדה הכיול מקרב את משוואות מקסוול למשוואות איינשטיין, ומכניסן למסגרת רעיונית אחת עם שדות כיול אחרים. זהו צעד נוסף בכיוון איחוד הכוחות.

ואולם השימוש בשדות כיול בפיזיקה מעורר בעיה פילוסופית. מתוך שיקול מתמטי טהור של סימטריה, אנו טוענים לקיומם של חלקיקים פיזיקאליים. כך ניתן למשל לטעון לקיומם של שדות כיול עבור מרחב פנימי עם הצגה כלשהי של חבורת מטריצות. ניתן אם כן לייצר באופן מלאכותי סימטריות רבות כאשר לכל אחת שדה כיול משלה. האם שדות כיול כאלו מייצגים חלקיקים אמיתיים ?

המבחן הסופי לקיומם הפיזי של שדות כיול חייב להיות פיזיקאלי ולא מתמטי. לא כל שדות הכיול שאנו יכולים לתאר באופן מתימטי מתאימים בפועל לחלקיקים. מצד שני, התורה האלקטרומגנטית מוכיחה כי שיוך חלקיקים פיזיקאליים לשדה כיול אכן אפשרי. מה נעשה במקרה שבהם המחקר הפיזיקאלי מסיבות טכניות רחוק מאוד מאישוש קיומם של חלקיקים הנחזים בצורה מתמטית ?

הסקת מסקנה על קיומם של חלקיקים כתוצאה מסימטריה מתמטית שונה משימוש רגיל בסימטריה.

השימוש הרגיל בסימטריה בפיזיקה נועד כדי להסיק מסקנות שהם בסופו של דבר א-פריוריות. זהו המקרה בו הסימטריה ידועה וברורה ואנו מנסים לחשוף את כל התוצאות שלה. ואולם כאשר מדובר בשדות כיול, הפיזיקאי נוטל על עצמו סיכון ממשי בבואו לטעון טענה אונטולוגית המושתתת כולה על שיקולים מתמטיים Van Fraassen) ). עצם קיומם של הגלואונים או הפוטונים איננו א-פריורי בשום מובן.

השימוש שאיינשטיין עושה בסימטריה מבוסס על ההכרה בסימטריה כתכונה של הטבע כפי שהדבר עולה מן הנסיון. אצל איינשטיין הניסוי הוא המקור לטענות בפיזיקה, והסימטריה היא מסקנה מן הניסוי. הניסוי המחייב את תורת היחסות הפרטית הוא הניסוי של מייקלסון ומורילי, והניסוי המאשש את תורת היחסות הכללית הוא הניסוי של אדינגטון. השימוש בסימטריה בתורות כיול שונה מהותית בכך שהוא הופך את הסימטריה המתמטית למקור ליצירת טענות פיזיקאליות[xxxi].

סיכום

ראינו כי ניתן לכתוב את ההסטוריה של תורת היחסות על פי ציר רעיוני של סימטריה. בכדי להבין את תורת היחסות הכללית יש להרחיב את מושג הסימטריה ולכלול בו גם סימטריות מקומיות, או סימטריות של כיול. ראינו כי השימוש בסימטריות של כיול מקרב רעיונית את תורת היחסות לתורה האלקטרומגנטית. ראינו גם כי תורת כיול יכולה לשמש בסיס לתאור של כוחות טבע אחרים. זוהי אחת מהדרכים להבין את משמעות החזון הגדול של איינשטיין: איחוד בין כוחות הטבע.

אחת מהדרכים לאחד בין כוחות שונים בעלי סימטרית כיול שונה, היא על ידי מציאתה של סופרסימטריה, כלומר סימטריה רחבה יותר (Mills). ההנחה היא כי על ידי שבירתה של אותה סימטריה (סטיוארט) ניתן יהיה להגיע לכל אחד מכוחות הכיול. עיקר הבעיה היא איחוד הגרביטציה עם שאר הכוחות. ראינו למעלה כי סימטריות הכיול הוגדרו על מרחב פנימי ואילו בגרביטציה, הכיול הוגדר באופן שונה. זה הופך את הגרביטציה לחריגה (ראה גם Utiyamaוכן Carmeli). כיום נעשה נסיון לאחד את הכוחות בדרך של שימוש בסופרסימטריות המוגדרות על מבני זמן-מרחב הנקראים מיתרים. אלו מחייבים מרחבים מתימטיים בעלי מימד גבוה יותר, וחורגים מן הדיון כאן.

שימוש בסימטריה על פי וויברג, מעיד על שלב גבוה בהבנת הטבע. שימוש בסימטריות מתוחכמות יותר, מעיד על שלב גבוה יותר בהבנת הטבע. השלב הגבוה ביותר הוא איחוד הכוחות הבסיסיים של הטבע תחת מסגרת אחת באמצעות סימטרית-על. השלבים מסודרים במבנה אבולוציוני. איינשטיין אם כן הצעיד אותנו צעד אבולוציוני אפיסמולוגי, מן המאה התשע עשרה בה לא נעשה כמעט כל שימוש בסימטריה בהסבר המדעי, עד לימינו בהם השימוש בסימטריה מעיד על הבנה מדעית עמוקה וכוללנית הרבה יותר.

בבליוגרפיה

H.Weyl, Symmetry, Princeton University Press, 1980

P.Kosso, Symmetry Arguments in Physics, Stud.Hist.Phil.Sci.,Vol. 30 (3) 199

R.Mills, Gauge Fields, Am. J. Phys. 57(6) 1

R.Y. Utiyama, Invariant Theoretical Interpretation of Interaction, Physical

Review 101 (5) 1956

I.J.R. Aitchison, A.J.G. Hey, Gauge Theories in Particle Physics, Adam Hilger,

Bristol, 1982

J. Rosen, Fundamental Manifestation of Symmetry in Physics, Foundation of

Physics, Vol. 20 (3) 1990

J. Rosen, Symmetry in Science, An introduction to the General Theory, Springer-

Verlag

E.P. Wigner, Symmetries and Reflections, Indiana University Press, 1967

H. R. Pagels, Perfect Symmetry, Simon & Schuster, 1985

L. H. Ryder, Quantum Field Theory, Cmbridge University Press, 1996

M. Carmeli, Classical Fields, John Wiley & Sons 1982

H. Goldstein, Classical Mechanics, Addison-Wesley, 1980

Van Fraassen, Laws and Symmetry, Oxford University Press, 1989

M.Steiner, The Applicability of Mathematics as a Philosophical Problem,

Harvard University Press, 1998

A. Koestler, The Sleepwalkers, Arkana, 1989

ז. בכלר , שלוש מהפיכות קופרניקניות, זמורה ביתן,

ס. ויינברג, חזון התיאוריה הסופית, עם עובד, 1996

א. סטיוארט, מ. גולוביצקי, סימטריה נוראה, האם אלהים הוא גיאומטריקאן ? זמורה ביתן 2001

קווים מקבילים, חורף 2005